[论文解读] Stable evaluation of Gaussian radial basis functions using Hermite polynomials

Anna Yurova, Katharina Kormann|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2017

Numerical methods in engineering参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于赫尔米特GF的新型径向基函数（RBF）插值方法，通过使用赫尔米特多项式的生成函数，在形状参数ε趋近于零的平坦极限下稳定了高斯径向基函数的计算。该方法避免了参数调优，支持高效的张量积形式，实现了高达5D、数百万个点的高精度与可扩展性，在简洁性和并行效率方面优于现有的RBF-QR方法。

ABSTRACT

Gaussian radial basis functions can be an accurate basis for multivariate interpolation. In practise, high accuracies are often achieved in the flat limit where the interpolation matrix becomes increasingly ill-conditioned. Stable evaluation algorithms have been proposed by Fornberg, Larsson & Flyer based on a Chebyshev expansion of the Gaussian basis and by Fasshauer & McCourt based on a Mercer expansion with Hermite polynomials. In this paper, we propose another stabilization algorithm based on Hermite polynomials but derived from the generating function of Hermite polynomials. The new expansion does not require a complicated choice of parameters and offers a simple extension to high-dimensional tensor grids as well as a generalization for anisotropic multivariate basis functions using the Hagedorn generating function.

研究动机与目标

• 解决当形状参数ε趋近于零时，高斯RBF方法插值矩阵病态的问题。
• 开发一种稳定、无需参数调整的替代方法，以替代现有的RBF-QR方法（如切比雪夫-QR和高斯-QR）。
• 通过张量积形式，实现在高维张量网格上的高效、内存稀疏计算。
• 利用哈吉多恩波包理论，将该方法推广至各向异性的多元高斯RBF。
• 提供可扩展的开源实现，能够处理大规模5D问题。

提出的方法

• 通过其生成函数导出的赫尔米特多项式展开高斯RBF，避免了复杂参数选择的需要。
• 采用直接变换至赫尔米特GF基，使插值矩阵变得条件良好且可逆。
• 利用张量积结构高效表示多变量插值矩阵，实现极易并行的计算。
• 将展开函数的数量M设为等于配点数N，简化算法并提升稳定性。
• 通过引入哈吉多恩生成函数，将方法推广至各向异性的RBF，实现非各向同性的形状矩阵。
• 提供了MATLAB和Julia两种实现，其中Julia展现出更优性能和原生并行化支持。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于生成函数的赫尔米特多项式展开是否能在不需精细参数调优的情况下，稳定高斯RBF插值在平坦极限下的表现？
• RQ2 与现有的RBF-QR方法（如切比雪夫-QR和高斯-QR）相比，赫尔米特GF方法在精度和效率方面表现如何？
• RQ3 赫尔米特GF方法的张量积结构在高维问题（如4D和5D）中，对大规模点集的可扩展性如何？
• RQ4 赫尔米特GF框架是否可借助哈吉多恩波包理论推广至各向异性的多元RBF？
• RQ5 赫尔米特GF-张量方法在现代HPC集群上的计算性能与内存效率如何？

主要发现

• 赫尔米特GF方法在精度上与高斯-QR和切比雪夫-QR相当，但参数结构更简单，仅需原始形状参数ε和一个域尺寸参数γ。
• 该方法对γ的精确值不敏感，显著减少了手动调参的需求。
• 在1–3D问题中，每维最多35个点时，单处理器上运行时间不足一分钟，表现出低维下的高效率。
• 在4D和5D中，通过并行化实现有效扩展，5D模拟（18^5个点，超过190万个点）在完整集群节点上耗时略少于一天。
• Julia实现支持高效并行执行，是目前唯一能稳定处理5D中数百万个点的RBF插值方法。
• 基于张量的公式确保了插值矩阵的内存稀疏表示，适用于大规模、高维问题。