[论文解读] Stable maps to Looijenga pairs

Pierrick Bousseau, Andrea Brini+1 more|White Rose Research Online (University of Leeds, The University of Sheffield, University of York)|Nov 17, 2020

Algebraic structures and combinatorial models被引用 4

一句话总结

本文建立了五种不同枚举不变量——对 Looijenga 对 (Y,D) 关联的对数 Gromov–Witten、局部 Gromov–Witten、开 Gromov–Witten、BPS 不变量以及量子图 Donaldson–Thomas 不变量——之间的对应关系网，证明了在正性条件下这些不变量的等价性，并通过对称函数与拓扑顶点形式化方法，为所有不变量提供了完整的闭式解。

ABSTRACT

A log Calabi-Yau surface with maximal boundary, or Looijenga pair, is a pair $(Y,D)$ with $Y$ a smooth rational projective complex surface and $D=D_1+\dots + D_l \in |-K_Y|$ an anticanonical singular nodal curve. Under some positivity conditions on the pair, we propose a series of correspondences relating five different classes of enumerative invariants attached to $(Y,D)$: 1) the log Gromov-Witten theory of the pair $(Y,D)$, 2) the Gromov-Witten theory of the total space of $\bigoplus_i \mathcal{O}_Y(-D_i)$, 3) the open Gromov-Witten theory of special Lagrangians in a Calabi-Yau 3-fold determined by $(Y,D)$, 4) the Donaldson-Thomas theory of a symmetric quiver specified by $(Y,D)$, and 5) a class of BPS invariants considered in different contexts by Klemm-Pandharipande, Ionel-Parker, and Labastida-Marino-Ooguri-Vafa. We furthermore provide a complete closed-form solution to the calculation of all these invariants.

研究动机与目标

• 统一与 Looijenga 对 (Y,D) 相关的五类枚举不变量，其中 (Y,D) 是具有最大边界的一类对数 Calabi–Yau 曲面。
• 在 (Y,D) 上建立对数 Gromov–Witten 不变量与 ⊕O_Y(−D_i) 的总空间上的局部 Gromov–Witten 不变量之间精确的数学对应关系，以及在具有特殊拉格朗日子流形的 Calabi–Yau 3-流形上的开 Gromov–Witten 不变量之间的对应关系。
• 将这些不变量与 Klemm–Pandharipande、Ionel–Parker 以及 Labastida–Mariño–Ooguri–Vafa 的 BPS 不变量相联系，并在 l=2 时与量子图 DT 不变量相联系。
• 证明不变量的强整性约束，为局部 CY (l+2)-流形的零亏格 Gopakumar–Vafa 不变量的整性提供代数几何证明。
• 使用对称函数与拓扑顶点形式化方法，为所有不变量提供完整、显式、非递归的闭式解。

提出的方法

• 从 Looijenga 对 (Y,D) 构造四种几何结构：对数 Calabi–Yau 曲面、局部 Calabi–Yau (l+2)-流形、具有 l−1 个拉格朗日循环的非紧致 Calabi–Yau 3-流形，以及当 l=2 时的对称量子图。
• 利用对数-局部对应关系，将 (Y,D) 上的对数 GW 不变量与 E_Y(D) = Tot(⊕O_Y(−D_i)) 上的局部 GW 不变量在零亏格下关联起来。
• 应用开-闭对应关系，将 (Y,D) 上的对数 GW 不变量与具有拉格朗日边界条件的 CY3-流形上的开 GW 不变量等同起来。
• 采用拓扑顶点形式化方法与对称函数的主特化，以 q-阶乘和乘积公式形式计算不变量。
• 利用 Littlewood–Richardson 法则与移位的 Schur 函数，推导出钩型分拆下偏序 Schur 函数的闭式表达式。
• 通过变量替换建立 BPS 不变量之间的等价性，并利用生成函数在 q 中的结构证明整性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Looijenga 对 (Y,D) 的对数 Gromov–Witten 不变量是否与 ⊕O_Y(−D_i) 的总空间上的局部 Gromov–Witten 不变量在零亏格下一致？
• RQ2 是否存在对数 Gromov–Witten 不变量与具有 l−1 个拉格朗日边界分量的 Calabi–Yau 3-流形上开 Gromov–Witten 不变量之间的对应关系？
• RQ3 对任意 Looijenga 对，零亏格局部 BPS 不变量（GV/KP/IP 类型）是否与零亏格开 BPS 不变量（LMOV 类型）等价？
• RQ4 当 l=2 时，局部 BPS 不变量是否与 (Y,D) 关联的对称量子图的 Donaldson–Thomas 不变量一致？
• RQ5 这些不变量是否满足强整性约束？这一性质能否用于证明局部 CY (l+2)-流形上零亏格 Gopakumar–Vafa 不变量的整性？

主要发现

• 在零亏格下，(Y,D) 上的对数 Gromov–Witten 不变量与 E_Y(D) 上的局部 Gromov–Witten 不变量等价，证实了 van Garrel–Graber–Ruddat 的一个猜想。
• 在所有亏格下，(Y,D) 上的对数 Gromov–Witten 不变量与具有 l−1 个拉格朗日边界分量的 CY3-流形上的开 Gromov–Witten 不变量等价。
• 对所有 l ≥ 2，零亏格局部 BPS 不变量（GV/KP/IP 类型）与零亏格开 BPS 不变量（LMOV 类型）等价。
• 当 l=2 时，局部 BPS 不变量与关联量子图 Q(Y(D)) 的 Donaldson–Thomas 不变量等价，建立了新的量子图对应关系。
• 所有不变量均满足强整性约束，为局部 CY (l+2)-流形上零亏格 Gopakumar–Vafa 不变量的整性提供了代数几何证明，包括 CY4 曲面的情形。
• 通过使用对称函数与拓扑顶点，为所有不变量获得了完整的闭式解，对钩型分拆给出了以 q-阶乘和乘积恒等式表示的显式公式。