[论文解读] Stable marriage problems with quantitative preferences

Maria Pini, Francesca Rossi+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2010

Game Theory and Voting Systems参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文提出了稳定婚姻问题中定量偏好下的新稳定性与最优性概念，其中个体使用数值分数而非严格排序来表达偏好。该文将Gale-Shapley算法进行调整，基于分数差（α-稳定性）和关联强度（关联可加性与关联最大化稳定性）来寻找稳定且最优的匹配，表明通过经典算法的改进版本可高效计算这些解，在无并列偏好下可获得唯一最优解。

ABSTRACT

The stable marriage problem is a well-known problem of matching men to women so that no man and woman, who are not married to each other, both prefer each other. Such a problem has a wide variety of practical applications, ranging from matching resident doctors to hospitals, to matching students to schools or more generally to any two-sided market. In the classical stable marriage problem, both men and women express a strict preference order over the members of the other sex, in a qualitative way. Here we consider stable marriage problems with quantitative preferences: each man (resp., woman) provides a score for each woman (resp., man). Such problems are more expressive than the classical stable marriage problems. Moreover, in some real-life situations it is more natural to express scores (to model, for example, profits or costs) rather than a qualitative preference ordering. In this context, we define new notions of stability and optimality, and we provide algorithms to find marriages which are stable and/or optimal according to these notions. While expressivity greatly increases by adopting quantitative preferences, we show that in most cases the desired solutions can be found by adapting existing algorithms for the classical stable marriage problem.

研究动机与目标

• 为解决经典稳定婚姻问题的局限性，后者依赖定性偏好排序，无法表达偏好的强度。
• 建模现实中偏好天然为定量的情形，如利润、成本或效用，而非序数排序。
• 定义新的稳定性与最优性概念——α-稳定性与基于关联的稳定性，以纳入分数差异与配对关联强度。
• 开发高效算法，将经典Gale-Shapley算法适配于新标准下，以计算稳定且最优的匹配。
• 将新稳定性概念与经典稳定性进行比较，证明其可产生不同且更具表达力的稳定匹配。

提出的方法

• 提出α-稳定性，一种基于个体对两个潜在配偶所赋分值差异的新稳定性概念，确保不存在一对双方均因超过阈值的分差而更偏好对方而非当前配偶。
• 引入关联可加性稳定婚姻与关联最大化稳定婚姻，其中稳定性基于男女配对间关联强度（即得分）来定义。
• 将字典序最优性定义为一种方法，通过投票规则线性化部分偏好序，以选择唯一的最优稳定匹配。
• 将Gale-Shapley算法适配于转换后的偏好配置：Linka(P)用于关联可加性稳定性，Linkm(P)用于关联最大化稳定性。
• 通过对Linka(P)与Linkm(P)中的部分序进行线性化，应用Gale-Shapley算法，计算在新稳定性标准下的男性最优稳定匹配。
• 证明当Linka(P)或Linkm(P)中无并列时，所得匹配唯一且具有最高的关联强度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当偏好以数值分数而非严格排序表达时，稳定婚姻问题中的稳定性应如何重新定义？
• RQ2 以分数差异（α-稳定性）作为阻断对的判定标准有何影响？其与经典稳定性的区别何在？
• RQ3 基于关联的稳定性概念——关联可加性与关联最大化——是否能产生与经典稳定匹配不同的稳定匹配？
• RQ4 能否通过Gale-Shapley算法的改进版本，高效计算这些新稳定性定义下的最优稳定匹配？
• RQ5 在何种条件下，基于新关联最优性标准的唯一最优稳定匹配存在？

主要发现

• α-稳定性引入基于阈值的阻断条件，依据分数差异，使稳定性定义比经典稳定性更具细微区分度。
• 关联可加性稳定婚姻与关联最大化稳定婚姻基于配对间关联强度（得分）来定义，提供了评估稳定性的新方式。
• 当偏好得分均不相同时，存在唯一一个关联最大化稳定婚姻，其全局关联强度最高。
• 可通过将Gale-Shapley算法应用于Linka(P)与Linkm(P)的线性化版本，适配以计算关联可加性稳定与关联最大化稳定匹配。
• 若Linka(P)或Linkm(P)中无并列，则经适配的Gale-Shapley算法所得匹配既稳定，又具有最高的可能关联强度。
• 在新关联基准配置下的男性最优匹配可能不同于经典男性最优稳定婚姻，因其优先考虑关联强度而非个体偏好名次。