[论文解读] Stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth data I: Analysis

Jiajie Chen, Thomas Y. Hou|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2022

Navier-Stokes equation solutions被引用 8

一句话总结

本文首次为二维Boussinesq方程和三维轴对称Euler方程提供了在光滑初值与有限能量条件下稳定近乎自相似爆破的严格证明。通过结合一种新颖的加权$L^\infty$与$C^{1/2}$范数框架、精确的函数不等式，以及具有严格误差控制的数值构造近似解，作者建立了对近似自相似轮廓的非线性稳定性，证实了在稳定条件下有限时间奇点的形成。

ABSTRACT

Inspired by the numerical evidence of a potential 3D Euler singularity \cite{luo2014potentially,luo2013potentially-2}, we prove finite time blowup of the 2D Boussinesq and 3D axisymmetric Euler equations with smooth initial data of finite energy and boundary. There are several essential difficulties in proving finite time blowup of the 3D Euler equations with smooth initial data. One of the essential difficulties is to control a number of nonlocal terms that do not seem to offer any damping effect. Another essential difficulty is that the strong advection normal to the boundary introduces a large growth factor for the perturbation if we use weighted $L^2$ or $H^k$ estimates. We overcome this difficulty by using a combination of a weighted $L^\infty$ norm and a weighted $C^{1/2}$ norm, and develop sharp functional inequalities using the symmetry properties of the kernels and some techniques from optimal transport. Moreover we decompose the linearized operator into a leading order operator plus a finite rank operator. The leading order operator is designed in such a way that we can obtain sharp stability estimates. The contribution from the finite rank operator to linear stability can be estimated by constructing approximate solutions in space-time. This enables us to establish nonlinear stability of the approximate self-similar profile and prove stable nearly self-similar blowup of the 2D Boussinesq and 3D Euler equations with smooth initial data and boundary.

研究动机与目标

• 严格建立二维Boussinesq方程与三维轴对称Euler方程在光滑初值与有限能量条件下的有限时间爆破。
• 克服非局部项与边界附近强对流效应带来的挑战，这些效应阻碍了传统$L^2$或$H^k$估计的使用。
• 开发一种新颖的分析框架，结合精确函数不等式、能量估计，以及具有严格误差界数值构造的近似解。
• 证明近似自相似轮廓的非线性稳定性，从而实现稳定近乎自相似爆破的展示。
• 将先前基于$C^{1,\alpha}$初值的结果推广至光滑初值情形，填补了三维Euler奇点理论中的关键空白。

提出的方法

• 采用加权$L^\infty$与$C^{1/2}$范数的组合，以控制破坏标准$L^2$或$H^k$估计的非局部与对流效应。
• 利用核的对称性及最优传输技术，发展精确的函数不等式，以处理涡量拉伸项中的非局部项。
• 将线性化算子分解为一个主导部分（具有精确稳定性估计）与一个有限秩扰动。
• 构造具有严格误差控制的近似时空解，以界定有限秩算子对线性稳定性的影响。
• 使用动态再缩放方法，将爆破问题转化为在再缩放方程中近似稳态解的稳定性问题。
• 结合半解析的远场行为与数值计算的紧支集分量，构建一个残差误差极小的近似稳态解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为二维Boussinesq方程与三维Euler方程在光滑初值与有限能量条件下，严格证明有限时间爆破？
• RQ2 在非局部项中无阻尼的情况下，如何控制边界附近强对流引起的不稳定性？
• RQ3 在初值的小扰动下，近似自相似爆破轮廓能否保持稳定？
• RQ4 何种分析框架能够有效控制涡量拉伸项中非局部二次非线性项？
• RQ5 能否将先前基于$C^{1,\alpha}$初值的爆破结果推广至光滑初值情形？

主要发现

• 二维Boussinesq方程在光滑初值与有限能量下会形成有限时间奇点，且在动态再缩放下呈现近乎自相似爆破。
• 三维轴对称Euler方程在轴向上为奇函数且周期、在对称轴外具有紧支集的光滑初值下，表现出稳定的近乎自相似爆破。
• 在加权$L^\infty$与$C^{1/2}$范数下，爆破对初值的小扰动具有稳定性，证实了奇点形成机制的鲁棒性。
• 作者在加权$L^\infty(\varphi_4)$估计中实现了至少$1.5E_*$的稳定性因子，表明具有强非线性稳定性。
• 通过分段下界进行数值验证，确认在整个区域中稳定性因子为正，所有非线性稳定性条件均满足。
• 该框架可在无需额外近似的情况下完成完整估计，展示了方法的鲁棒性与可扩展性。