[论文解读] Stable pairs with descendents on local surfaces I: the vertical component

Martijn Kool, Richard Thomas|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文计算了局部 Calabi-Yau 3-fold $X = K_S$ 上带有下拉类的完整稳定对理论，其中 $S$ 是一个具有光滑典范除子 $C$ 的曲面。通过 $mathbb{C}^*$-局部化与余截面局部化，将计算归约为由严格分拆索引的 $C$ 的垂直加厚结构，并为曲线类 $[C]$ 与 $2[C]$ 的不变量生成函数推导出一个闭合乘积公式，通过下拉-MNOP 对应关系验证了 Maulik-Pandharipande 的一个猜想。

ABSTRACT

We study the full stable pair theory --- with descendents --- of the Calabi-Yau 3-fold $X=K_S$, where $S$ is a surface with a smooth canonical divisor $C$. By both $\mathbb C^*$-localisation and cosection localisation we reduce to stable pairs supported on thickenings of $C$ indexed by partitions. We show that only strict partitions contribute, and give a complete calculation for length-1 partitions. The result is a surprisingly simple closed product formula for these "vertical" thickenings. This gives all contributions for the curve classes $[C]$ and $2[C]$ (and those which are not an integer multiple of the canonical class). Here the result verifies, via the descendent-MNOP correspondence, a conjecture of Maulik-Pandharipande, as well as various results about the Gromov-Witten theory of $S$ and spin Hurwitz numbers.

研究动机与目标

• 计算在 $X = \mathrm{Tot}(K_S)$ 上的完整稳定对理论，其中 $S$ 为具有光滑典范除子 $C$ 的曲面，且包含下拉类。
• 将稳定对不变量的计算归约为 $mathbb{C}^*$-作用下的不动点集，重点关注支持在 $C$ 的加厚结构上的分量。
• 证明在曲线类 $d\cdot [\mathsf{k}]$ 中，仅严格分拆对不变量有贡献，其中 $\mathsf{k}$ 为典范类。
• 为曲线类 $[C]$ 与 $2[C]$ 的垂直贡献生成函数推导出闭合形式的乘积公式，从而验证 Maulik-Pandharipande 的一个猜想。

提出的方法

• 对 $X = K_S$ 上的稳定对模空间应用 $mathbb{C}^*$-等变局部化，将计算归约为 $K_S$ 纤维上 $mathbb{C}^*$-作用下的不动点集。
• 利用余截面局部化，进一步将计算限制在支持于典范除子 $C$ 的加厚结构上的稳定对，其由分拆 $\boldsymbol{\lambda} \vdash d$ 索引。
• 将不动点分量表征为支持由理想 $I_C(-\lambda_1 S) + \cdots + I_C^l$ 定义的分量，其中 $I_C$ 为 $\pi^*C$ 的理想层。
• 证明仅严格分拆（满足 $\lambda_0 > \lambda_1 > \cdots > \lambda_{l-1} > 0$）对不变量有贡献。
• 将虚拟法丛与障碍理论用 $C$ 上嵌套点的希尔伯特概形上的典型类表示，从而实现显式计算。
• 利用 Pixton 与 Zagier 的生成函数恒等式计算积分，并推导出垂直贡献的闭合乘积公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $X = K_S$ 上，哪些曲线类支持非零的带下拉类的稳定对不变量？在何种条件下它们会消失？
• RQ2 如何将 $X = K_S$ 上的稳定对不变量局部化到支持于典范除子 $C$ 的加厚结构上的分量？
• RQ3 在曲线类 $[C]$ 与 $2[C]$ 中，'垂直'分量（支持于 $\pi^{-1}(C)$）对完整稳定对不变量的精确贡献是什么？
• RQ4 能否通过 $X = K_S$ 上的稳定对计算，利用下拉-MNOP 对应关系验证 Maulik-Pandharipande 关于 $S$ 的 Gromov-Witten 不变量的猜想？
• RQ5 带下拉类的垂直稳定对不变量的生成函数是否存在显式闭合公式？

主要发现

• 仅严格分拆 $\boldsymbol{\lambda} = (\lambda_0 > \cdots > \lambda_{l-1} > 0)$ 满足 $|\boldsymbol{\lambda}| = d$ 对曲线类 $d\cdot [\mathsf{k}]$ 中的稳定对不变量有贡献，而非严格分拆的贡献为零。
• 对于长度为 1 的分拆 $\boldsymbol{\lambda} = (d)$，生成函数的垂直贡献由一个涉及等变参数 $t$ 与曲线类 $d\cdot [\mathsf{k}]$ 的三角函数与有理函数的闭合乘积公式给出。
• 曲线类 $d\cdot [\mathsf{k}]$ 中的垂直不变量生成函数表示为形式变量 $v_j$ 的乘积，其中包含 $\sin(n\,du/2)$ 与类似 Pochhammer 的分母。
• 该生成函数的首项与 $S$ 在曲线类 $d\cdot [\mathsf{k}]$ 中的 Gromov-Witten 不变量一致，从而确认了这些情形下的下拉-MNOP 对应关系。
• 该结果通过 $X = K_S$ 上的垂直稳定对不变量验证了 Maulik-Pandharipande 关于 $S$ 的 Gromov-Witten 理论的猜想，尤其在 $d=1$ 与 $d=2$ 时成立。
• 关键恒等式来自 Pixton 与 Zagier，用于计算积分，其首项系数 $A_\alpha = \frac{1}{(2\alpha-1)!!}$ 出现在涉及 $\sin(nx)/\sin^n x$ 的生成函数展开中。