[论文解读] Stable Phaseless Sampling and Reconstruction of Real-Valued Signals with Finite Rate of Innovations

Cheng Cheng, Qiyu Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2018

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用 3

一句话总结

本文提出了一种稳定、线性复杂度的算法，用于对具有有限创新率（FRI）的实值信号进行无相位采样与重建，采用离散集上的幅度测量。研究证明，相位可重构性等价于信号创新结构的图连通性，并通过连通分量分解完整刻画了所有具有相同幅度测量的信号。

ABSTRACT

A spatial signal is defined by its evaluations on the whole domain. In this paper, we consider stable reconstruction of real-valued signals with finite rate of innovations (FRI), up to a sign, from their magnitude measurements on the whole domain or their phaseless samples on a discrete subset. FRI signals appear in many engineering applications such as magnetic resonance spectrum, ultra wide-band communication and electrocardiogram. For an FRI signal, we introduce an undirected graph to describe its topological structure. We establish the equivalence between the graph connectivity and phase retrievability of FRI signals, and we apply the graph connected component decomposition to find all FRI signals that have the same magnitude measurements as the original FRI signal has. We construct discrete sets with finite density explicitly so that magnitude measurements of FRI signals on the whole domain are determined by their samples taken on those discrete subsets. In this paper, we also propose a stable algorithm with linear complexity to reconstruct FRI signals from their phaseless samples on the above phaseless sampling set. The proposed algorithm is demonstrated theoretically and numerically to provide a suboptimal approximation to the original FRI signal in magnitude measurements.

研究动机与目标

• 解决从幅度测量或无相位样本中稳定重建具有有限创新率（FRI）的实值信号的挑战。
• 刻画FRI信号在仅知其幅度信息时，唯一可恢复至全局符号差异的条件。
• 开发一种实用且计算高效的算法，用于从有限密度的离散集上的无相位样本中重建FRI信号。
• 建立无相位采样所需采样密度的理论边界，以确保所有FRI信号的相位可重构性。

提出的方法

• 引入无向图表示 ${\mathcal{G}}_f$，以基于其创新位置和基函数建模FRI信号的拓扑结构。
• 证明相位可重构性（即 ${\mathcal{M}}_f = \{\pm f\}$）成立当且仅当 ${\mathcal{G}}_f$ 连通。
• 利用 ${\mathcal{G}}_f$ 的连通分量分解，显式构造 ${\mathcal{M}}_f$ 中的所有信号，表明其为在不连通“岛屿”上支持的信号分量的带符号组合。
• 构造具有有限密度的离散无相位采样集，使得全区域的幅度测量可由这些集合上的采样保持。
• 提出MAPS算法——一种稳定、线性复杂度的方法——用于从含噪声的无相位样本中重建FRI信号。
• 建立理论稳定性边界，表明幅度测量中最大重建误差随噪声水平几乎线性增长。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，实值FRI信号可从其幅度测量中唯一恢复至全局符号差异？
• RQ2 如何系统地刻画所有与给定FRI信号具有相同幅度测量的信号？
• RQ3 无相位采样集所需的最小采样密度是多少，才能确保所有FRI信号的相位可重构性？
• RQ4 能否设计一种稳定、低复杂度的算法，从含噪声的无相位样本中重建FRI信号，并控制误差增长？
• RQ5 FRI信号的拓扑结构（通过其图表示）与其相位可重构性之间存在何种关系？

主要发现

• FRI信号的相位可重构性等价于其关联无向图 ${\mathcal{G}}_f$ 的连通性。
• 所有与 $f$ 具有相同幅度测量的信号恰好是其连通分量信号的带符号组合，即 ${\mathcal{M}}_f = \left\{ \sum_{i \in I} \delta_i f_i : \delta_i \in \{-1,1\} \right\}$。
• 所提出的MAPS算法实现了稳定重建，计算复杂度为线性，且最大重建误差 $E_\eta$ 随噪声水平 $\eta$ 几乎线性增长。
• 数值结果表明，当噪声水平 $\eta = 0.04$ 时，最大误差 $E_\eta = 0.1878$；当 $\eta = 0.001$ 时，$E_\eta = 0.0025$，显示出近乎线性依赖关系。
• 任何无相位采样集 $\Gamma$ 的上密度必须满足 $D_+(\Gamma) \geq D_+(\Lambda)$，其中 $D_+(\Lambda)$ 为信号的创新率。
• 当基函数具有不相交支撑时，采样密度的下界是紧的，此时可构造密度等于创新率的采样集。