[论文解读] Stable prescribed-mean-curvature integral varifolds of codimension 1: regularity and compactness

Costante Bellettini, Neshan Wickramasekera|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2019

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文在一般黎曼流形中建立了具有给定平均曲率 $g \in C^{1,\alpha}$ 的余维数-1整值变体的正则性和紧致性理论。在有限莫尔斯指数和弱化结构条件下，证明了此类变体在余维数 $\geq 7$ 的奇异集之外是具有平均曲率 $g\nu$ 的 $C^2$ 内嵌超曲面，并在统一质量界下识别出紧致类，将先前的CMC结果推广至一般 $g$。该结果适用于Caccioppoli集的减小边界，并导出一个适用于相变问题的抽象正则性定理。

ABSTRACT

In a previous paper we developed a regularity and compactness theory in Euclidean ambient spaces for codimension 1 weakly stable CMC integral varifolds satisfying two (necessary) structural conditions. Here we generalize this theory to the setting where the mean curvature (of the regular part of the varifold) is prescribed by a given $C^{1, α}$ ambient function $g$ and the ambient space is a general $(n+1)$-dimensional Riemannian manifold; we give general conditions that imply that the support of the varifold, away from a possible singular set of dimension $\leq n-7,$ is the image of a $C^{2}$ immersion with continuous unit normal $ν$ and mean curvature $gν$. These conditions also identify a compact class of varifolds subject to an additional uniform mass bound. If $g$ does not vanish anywhere, or more generally if the set $\{g=0\}$ is sufficiently small (e.g. if ${\mathcal H}^{n}\,(\{g=0\})=0$), then the results and their proofs are quite analogous to the CMC case. When $g$ is arbitrary however, a number of additional considerations must be taken into account: first, the correct second variation assumption is that of finite Morse index (rather than weak stability); secondly, to have a geometrically useful theory with compactness conclusions, one of the two structural conditions on the varifold must be weakened; thirdly, in view of easy examples, this weakening of a structural hypothesis necessitates additional hypotheses in order to reach the same conclusion. We identify two sets of additional assumptions under which this conclusion holds for general $g$: one of them gives regularity and compactness, the other one gives regularity and is applicable to certain phase transition problems. We also provide corollaries for multiplicity $1$ varifolds associated to reduced boundaries of Caccioppoli sets. In these cases, some or all of the structural assumptions become redundant.

研究动机与目标

• 将稳定CMC整值变体的正则性和紧致性理论推广至一般黎曼空间中具有给定平均曲率 $g \in C^{1,\alpha}$ 的情形。
• 确定在何种条件下，变体的正则部分是具有平均曲率 $g\nu$ 的 $C^2$ 内嵌，即使 $g$ 在正测度集合上可能为零。
• 在统一质量界和有限莫尔斯指数下，为这类变体建立紧致性定理，将CMC框架推广至一般 $g$。
• 证明对于源自Caccioppoli集减小边界的多重性为1的变体，结构假设变得冗余，从而简化理论。

提出的方法

• 将泛函 $J_g = A + \mathrm{Vol}_g$ 的变分框架适配于定义具有给定平均曲率 $g\nu$ 的变体的 $J_g$-平稳性和 $J_g$-稳定性。
• 引入CMC情形下条件(ii)的弱化版本，以容纳 $\{g=0\}$ 具有正 ${\mathcal{H}}^n$-测度的可能性。
• 在 $g$ 不严格为正时，以有限莫尔斯指数假设替代弱稳定性，从而能够分析非极小、非稳定的解。
• 在坐标图中应用局部PDE估计和单侧最大值原理，以控制变体在潜在奇异点附近的行为。
• 利用初步的铺层定理和Schoen不等式，从稳定性和平稳性假设推导局部正则性。
• 推导出一个抽象正则性定理（定理9.1），该定理不要求变体是泛函的临界点，从而可更广泛地应用于基于PDE的相变模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有给定平均曲率 $g \in C^{1,\alpha}$ 的余维数-1整值变体在余维数 $\geq 7$ 的奇异集之外是正则的（即 $C^2$ 内嵌）？
• RQ2 如何将稳定CMC变体的紧致性理论推广至平均曲率由一般 $C^{1,\alpha}$ 函数 $g$ 给出的情形，特别是当 $g$ 在正测度集合上为零时？
• RQ3 当 $g$ 不严格为正时，为保持正则性和紧致性，结构假设需要进行哪些必要且充分的修改？
• RQ4 对于源自Caccioppoli集减小边界的变体，其正则性和紧致性结果是否可被恢复，此时结构假设可能冗余？
• RQ5 有限莫尔斯指数条件在 $g$ 为任意函数时如何替代弱稳定性，其对变体结构有何影响？

主要发现

• 满足有限莫尔斯指数和弱化结构条件的变体的正则部分是具有连续单位法向量和平均曲率 $g\nu$ 的 $C^2$ 内嵌超曲面，仅在余维数 $\geq 7$ 的奇异集上除外。
• 在统一质量界和有限莫尔斯指数下，此类变体族的紧致性定理成立，收敛于满足相同正则性和曲率条件的极限变体。
• 当 $g$ 为解析函数且 $\{g=0\}$ 的顶层结构中无任何不可约分量为极小曲面时，在其余假设下，定理A.1的正则性结论无需假设 (b T ) 也成立。
• 对于与Caccioppoli集减小边界相关的多重性为1的变体，结构假设 (i) 和 (ii) 冗余，且变体在余维数 $\geq 7$ 的奇异集外是 $C^2$ 内嵌的 $g$-超曲面。
• 建立了一个不依赖于变体是泛函临界点的抽象正则性定理（定理9.1），从而可广泛应用于基于PDE的相变模型。
• 证明了假设 (b T ) 对于排除非极限、非准嵌入的内嵌（例如方向相反的双层膜）是必不可少的，从而确保了紧致性的几何意义。