[论文解读] Stable Schottky-Jacobi Forms

Jae-Hyun Yang|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了在全纯雅可比簇上不存在稳定施托奇-雅可比形式，而在全纯双阿贝尔簇上则存在非平凡的稳定施托奇-雅可比形式。通过使用西格尔-雅可比算子以及雅可比形式在雅可比模群作用下的性质，作者证明了零化结果，并利用θ提升和稳定模形式显式构造了相关形式，揭示了这两个簇在模理论行为上的根本差异。

ABSTRACT

In this article, we prove that there do not exist stable Schottky-Jacobi forms for the universal Jacobian locus and also prove that there exist non-trivial stable Schottky-Jacobi forms for the universal hyperelliptic locus.

研究动机与目标

• 确定稳定施托奇-雅可比形式是否存在于全纯雅可比簇上。
• 研究非平凡稳定施托奇-雅可比形式在全纯双阿贝尔簇上是否存在。
• 阐明稳定雅可比形式的代数与模结构与施托奇问题之间的关系。
• 利用西格尔-雅可比算子和θ提升，建立稳定施托奇-雅可比形式的刻画。

提出的方法

• 使用西格尔-雅可比算子 Ψg,M: Jk,M(Γg) → Jk,M(Γg−1)，当 g + h > 2k + 1 时，该算子为同构。
• 应用通过雅可比模群 ΓgJ = Γg ⋉ HZ(g,h) 作用定义的稳定雅可比形式理论。
• 将稳定施托奇-雅可比形式构造为稳定模形式与θ级数的乘积，具体形式为 (ΘP − ΘQ)Θ2M。
• 运用伊凯达理论中的典范提升 I_{g,k}，将西格尔尖形式与高阶形式联系起来。
• 分析分次环 A(M) = ⊕_{k,ℓ} A_{k,ℓM} 及其理想 I(M)，后者对应于在双阿贝尔簇上消失的形式。
• 利用条件 2k ≢ h (mod 8) 证明 Jk,M(Γg) = 0，这意味着非零形式要求 k ≡ 0 (mod 4)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在全纯雅可比簇上，是否存在非平凡的、指标为 M 的稳定施托奇-雅可比形式？
• RQ2 在全纯双阿贝尔簇上，是否存在非平凡的稳定施托奇-雅可比形式？
• RQ3 稳定雅可比形式环 A(M) 具有怎样的代数结构？
• RQ4 θ提升与稳定模形式如何共同促成此类形式的构造？

主要发现

• 在全纯雅可比簇上不存在非平凡的稳定施托奇-雅可比形式，因为当 2k ≢ h (mod 8) 时，有 Jk,M(Γg) = 0，且非零形式要求 k ≡ 0 (mod 4)。
• 在全纯双阿贝尔簇上存在非平凡的稳定施托奇-雅可比形式，具体形式为 (ΘP − ΘQ)Θ2M，其中 P, Q 为秩 m ≡ 0 (mod 8) 的正定偶性单模二次型。
• 双阿贝尔簇的稳定施托奇-雅可比形式空间 B^{[4]}(M)_1 由形如 (ΘP − ΘQ)Θ2M 的形式张成，其中 m ∈ 8ℤ⁺。
• 稳定雅可比形式环 A(M) 是一个双分次环，且 A(M)_0 为多项式环，而 I(M) 是其内对应于在双阿贝尔簇上消失的形式的理想。
• 伊古萨模形式 φ4（度数为 4，权为 8）在双阿贝尔簇上消失，支持了通过典范提升存在此类形式。
• 典范提升 I_{2,6} 将尖形式 Δ 映射为 φ4 的非零倍数，证实了在双阿贝尔簇情形下存在非零形式。