[论文解读] Stable vector bundles on a hyper-Kahler manifold with a rank 1 obstruction map are modular

Eyal Markman|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2021

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 4

一句话总结

该论文证明了，在具有秩1形变障碍映射的超凯勒流形上，斜率稳定的反射层若其形变障碍映射为秩1，则其为“高度模形式的”（very modular），即其自同态代数随流形的形变而形变。关键结果表明，此类层在Looijenga-Lunts-Verbitsky（LLV）格中定义了一条直线。论文构造了三类主要例子：通过Hilbert概形的导出等价性、通过标准层的像，以及通过具有有理canonical丛的拉格朗日子簇上的线丛。

ABSTRACT

Let X be an irreducible 2n-dimensional holomorphic symplectic manifold. A reflexive sheaf F is very modular, if its Azumaya algebra End(F) deforms with X to every Kahler deformation of X. We show that if F is a slope-stable reflexive sheaf of positive rank and the obstruction map from the second Hochschild cohomology of X to $Ext^2(F,F)$ has rank 1, then F is very modular. We associate to such a sheaf a vector in the Looijenga-Lunts-Verbitsky lattice of rank equal to the second Betti number of X plus 2. Three sources of examples of such modular sheaves emerge. The first source consists of slope-stable reflexive sheaves F of positive rank which are isomorphic to the image of the structure sheaf via an equivalence of the derived categories of two irreducible holomorphic symplectic manifolds. The second source consists of such F, which are isomorphic to the image of a sky-scraper sheaf via a derived equivalence. The third source consists of images of torsion sheaves L supported as line bundles on holomorphic lagrangian submanifolds Z, such that Z deforms with X in co-dimension one in moduli and L is a rational power of the canonical line bundle of Z.

研究动机与目标

• 证明在具有秩1障碍映射的超凯勒流形上的反射层是高度模形式的，即其自同态代数在所有凯勒形变中均随流形形变。
• 将此类层与Looijenga-Lunts-Verbitsky（LLV）格中一条明确定义的直线（秩为 $ b_2(X) + 2 $）相关联。
• 通过导出范畴、Hilbert概形和拉格朗日子簇，构造三类此类模形式层的独立族。
• 将O'Grady关于 $ K3^{[2]} $-型流形的结果推广并扩展至更高维的超凯勒流形。

提出的方法

• 使用障碍映射 $ \mathrm{obs}_F: HH^2(X) \to \mathrm{Ext}^2(F,F) $ 来刻画具有最小形变障碍的层。
• 将‘高度模形式’层定义为那些其 $ \mathcal{E}nd(F) $ 随 $ X $ 的每个凯勒形变而形变的层。
• 通过Hochschild上同调与导出范畴形变，利用障碍映射的像在LLV格中构造一条典范直线。
• 应用BKR对应，将 $ X^n $ 上的等变丛上移至Hilbert概形 $ X^{[n]} $ 上的层，确保其为反射层且具有模形式性。
• 利用导出等价 $ \Phi: D^b(X) \to D^b(Y) $，将已知的模形式对象（如结构层、标准层）转移到 $ X^{[n]} $ 上的新例子。
• 通过分析傅里叶-穆凯伊变换的陈示性类与Mukai向量，验证模形式性所需的整性与正定性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超凯勒流形 $ X $ 上，反射层 $ F $ 在何种条件下会随 $ X $ 的每个凯勒形变而形变？
• RQ2 当障碍映射 $ \mathrm{obs}_F: HH^2(X) \to \mathrm{Ext}^2(F,F) $ 的秩为1时，何时能推出 $ F $ 是高度模形式的？
• RQ3 在 $ X^{[n]} $-型超凯勒流形上，稳定反射层具有秩1障碍映射的几何与范畴来源为何？
• RQ4 如何利用Looijenga-Lunts-Verbitsky格来分类与构造此类模形式层？
• RQ5 能否通过其陈示性类与导出单值群作用来检测一个层的模形式性？

主要发现

• 在超凯勒流形 $ X $ 上，若斜率稳定的反射层 $ F $ 满足 $ \mathrm{rank}(\mathrm{obs}_F) = 1 $，则其为高度模形式的，即 $ \mathcal{E}nd(F) $ 随 $ X $ 的每个凯勒形变而形变。
• 此类层在 $ X $ 的LLV格中确定了一条明确定义的直线，且在导出自同构下保持不变。
• 第一类例子源于 $ \Phi(\mathcal{O}_X) $，其中 $ \Phi: D^b(X) \to D^b(Y) $ 是两个不可约全纯辛流形之间的导出等价。
• 第二类例子由 $ \Phi(\mathcal{O}_x) $ 构成，即标准层在导出等价下的像，其在 $ X^{[n]} $ 上给出高度模形式层。
• 第三类例子包括 $ \Phi(L) $，其中 $ L $ 是拉格朗日子簇 $ Z \subset X $ 上的canonical丛的有理幂，且 $ Z $ 在模空间中以余维数1方式形变。
• 对 $ X = S^{[n]} $（$ S $ 为 $ K3 $ 表面）给出了显式构造，通过将BKR对应应用于 $ G^{oxtimes n} $，在 $ S^{[n]} $ 上得到一个高度模形式丛。