[论文解读] Stably dualizable groups

John Rognes|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文在 $E$-局部稳定同伦范畴中为稳定对偶可化群引入了一般化的对偶性理论，将经典庞加莱对偶性推广至非几何群（如 $K(\mathbb{Z}/p,q)$）在 $K(n)$-局部范畴中的情形。关键贡献在于构造了对偶化谱 $S^{adG}$，使每个此类群在平移意义下具备 Atiyah--庞加莱自对偶性，并在 $π_*(L_E S)$ 中赋予一个明确的框架 bordism 类 $[G]$，并在 $K(n)$-局部同伦理论中给出了显式计算。

ABSTRACT

We extend the duality theory for topological groups from the classical theory for compact Lie groups, via the topological study by J. R. Klein [Kl01] and the p-complete study for p-compact groups by T. Bauer [Ba04], to a general duality theory for stably dualizable groups in the E-local stable homotopy category, for any spectrum E. The principal new examples occur in the K(n)-local category, where the Eilenberg-Mac Lane spaces G = K(Z/p, q) are stably dualizable and nontrivial for 0 <= q <= n. We show how to associate to each E-locally stably dualizable group G a stably defined representation sphere S^{adG}, called the dualizing spectrum, which is dualizable and invertible in the E-local category. Each stably dualizable group is Atiyah-Poincare self-dual in the E-local category, up to a shift by S^{adG}. There are dimension-shifting norm- and transfer maps for spectra with G-action, again with a shift given by S^{adG}. The stably dualizable group G also admits a kind of framed bordism class [G] in pi_*(L_E S), in degree dim_E(G) = [S^{adG}] of the Pic_E-graded homotopy groups of the E-localized sphere spectrum.

研究动机与目标

• 将对偶性理论从紧致李群与 $p$-紧致群推广至 $E$-局部稳定同伦范畴中的一般群类。
• 将稳定对偶可化群定义为在 $E$-局部范畴中存在一个可逆且对偶可化的对偶化谱 $S^{adG}$ 的群。
• 为这类群建立 Atiyah--庞加莱对偶性，其形式为通过 $S^{adG}$ 平移的自对偶性，推广经典流形与李群的结果。
• 在 $Π_*(L_E S)$ 的 $Π_*(L_E S)$-分次同伦群中定义并计算一个框架 bordism 类 $[G] \in \pi_*(L_E S)$，将群结构与稳定同伦类联系起来。
• 分析 $K(n)$-局部情形，证明当 $0 \leq q \leq n$ 时，$G = K(\mathbb{Z}/p,q)$ 是稳定对偶可化的，并显式计算 $[G]$ 在 $K(n)$-同伦中的行为。

提出的方法

• 本文将群 $G$ 定义为 $E$-局部稳定对偶可化，若其分类空间 $BG$ 在 $E$-局部范畴中存在一个对偶化谱 $S^{adG}$，该谱通过悬垂谱 $S[G]$ 的对偶构造而成。
• 利用 $E$-局部版本的 Atiyah 对偶性，将 $DG_+$ 识别为 $S^{adG} \wedge S[G]$，从而建立通过 $S^{adG}$ 平移的自对偶性。
• 对偶化谱 $S^{adG}$ 被构造为在 $E$-局部范畴中 $S[G]$ 的 Spanier--Whitehead 对偶，并证明其可逆。
• 通过涉及 $X_{hG}$、$X_{tG}$ 与 $(S^{-adG} \wedge X)^{hG}$ 的同伦固定点与余纤维序列，定义范数与转移映射，其中涉及 $S^{adG}$ 的平移。
• 框架 bordism 类 $[G]$ 定义为复合映射 $S^{adG} \xrightarrow{i} (S[G])_{hG} \xrightarrow{\kappa} (S[G]_{hG})^{hG} \simeq S^{hG} \xrightarrow{p} S$，其值落在 $\pi_*(L_E S)$ 中。
• 在 $K(n)$-局部情形下，$S^{adG}$ 的 $K(n)$-同伦被识别为 $H^* = K(n)^*(G)$-余模的本原元，且通过增强映射 $\epsilon$ 计算了映射 $[G]_*$.

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些拓扑群在 $E$-局部稳定同伦范畴中具有对偶化谱 $S^{adG}$？
• RQ2 如何将庞加莱对偶性推广至 $K(n)$-局部范畴中非几何群（如 $K(\mathbb{Z}/p,q)$）？
• RQ3 $E$-局部框架 bordism 类 $[G] \in \pi_*(L_E S)$ 是什么？它如何检测稳定同伦类？
• RQ4 对偶化谱 $S^{adG}$ 如何控制 $E$-局部范畴中范数与转移映射的行为？
• RQ5 $S^{adG}$ 的 $K(n)$-同伦是什么？在什么情况下 $[G]$ 非零或为同构？

主要发现

• 对于 $G = K(\mathbb{Z}/p,q)$ 且 $0 \leq q \leq n$，$K(n)$-局部对偶化谱 $S^{adG}$ 存在，将对偶性推广至李群之外。
• 当 $G = K(\mathbb{Z}/p,n)$ 时，映射 $S^{adG} \to S$ 在 $K(n)$-同伦上诱导同构，因此在 $K(n)$-局部范畴中 $S^{adG} \simeq S$。
• 框架 bordism 类 $[G] \in \pi_*(L_E S)$ 对于 $G = S^1$（$[G] = \eta$）与 $G = (S^{2p-3})^\wedge_p$（$[G] = \alpha_1$）非零，且在 $K(1)$-局部下可检测。
• 当 $G = K(\mathbb{Z}/p,q)$ 且 $0 < q < n$ 时，映射 $[G]_*: K(n)_*(S^{adG}) \to K(n)_*$ 为零，表明其在 $K(n)$-同伦中具有正的 Adams 滤波。
• 当 $G$ 为有限离散群时，$[G]_*$ 在 $K(n)_*$ 上乘以 $|G|$，反映了群同调中的范数元。
• 当 $G = K(\mathbb{Z}/p,n)$ 时，$S^{adG}$ 上的 $G$-作用在同伦意义下是平凡的，因此庞加莱对偶性等价 $DG_+ \simeq S[G]$ 在同伦意义下是 $G$-等变的。