[论文解读] Stably ergodic diffeomorphisms which are not partially hyperbolic

Ali Tahzibi|ArXiv.org|Jun 8, 2002

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文在不依赖部分双曲性的前提下，为一类缺乏不变双曲子丛的 $C^2$ 体积保测微分同胚建立了稳定遍历性，转而依赖于支配分解与非一致双曲性。证明了此类系统具有稳定遍历性，且非保守扰动下存在唯一SRB测度，其Lebesgue测度基域为全集，从而解决了Bonatti-Viana（2000）提出的一个开放问题。

ABSTRACT

We show stable ergodicity of a class of conservative diffeomorphisms which do not have any hyperbolic invariant subbundle. Moreover the uniqueness of SRB measures for non-conservative $C^1$ perturbations of such diffeomorphisms. This class contains strictly non-partially hyperbolic robustly transitive diffeomorphisms by Bonatti-Viana and so we answer their question about the stable ergodicity of such systems.

研究动机与目标

• 解决Bonatti与Viana（2000）提出的关于鲁棒遍历但非部分双曲微分同胚的稳定遍历性开放问题。
• 为一类缺乏不变双曲子丛的保守 $C^2$ 微分同胚在 $\mathbb{T}^n$ 上建立稳定遍历性。
• 证明此类系统经非保守 $C^1$ 扰动后SRB测度的唯一性。
• 证明体积双曲性与支配分解足以保证非一致双曲性与遍历性，即使在无部分双曲性条件下亦成立。
• 证明通过 [ABV00] 框架构造的 $cu$-Gibbs测度具有正Lebesgue测度基域，从而确认其物理意义。

提出的方法

• 定义一类 $\mathcal{V} \subset \operatorname{Diff}^2_{\omega}(\mathbb{T}^n)$，即线性Anosov微分同胚 $f_0$ 的 $C^1$-邻近形变，仅在有限个小区球 $V$ 上进行修改。
• 利用支配分解 $TM = E^{cs} \oplus E^{cu}$ 及其连续的、关于 $Df$-不变的锥场 $C^{cs}, C^{cu}$，分别包含稳定与不稳定方向。
• 通过体积双曲性条件建立非一致双曲性：存在 $C>0$，$\lambda<1$，使得 $|\det(Df^n|E^1)| \leq C\lambda^n$ 且 $|\det(Df^{-n}|E^2)| \leq C\lambda^n$。
• 利用动态平坦子流形的几何性质，以及 $D^\infty(x)$（局部强不稳定流形）位于全局 $C^1$ 图上的事实，确保在几乎处处的 $E^{cs}$ 方向具有负的Lyapunov指数。
• 应用稳定叶状结构的绝对连续性与 $cu$-Gibbs测度的结构，证明其基域具有正Lebesgue测度。
• 在 $C^1$ 拓扑下使用扰动技术，确保性质在小 $C^1$ 扰动下保持鲁棒，特别是通过避免非鲁棒情形下支配分解的缺失来排除吸引子的存在。

实验结果

研究问题

• RQ1 在无部分双曲性（即无不变双曲子丛）的条件下，能否实现稳定遍历性？
• RQ2 支配分解与体积双曲性是否足以保证非保守扰动下SRB测度的唯一性？
• RQ3 能否在不依赖同时双曲时间条件的前提下，证明通过 [ABV00] 框架构造的 $cu$-Gibbs测度为SRB测度（即其基域具有正Lebesgue测度）？
• RQ4 $C^1$-鲁棒不可约性在保守系统中是否等价于支配分解的存在？
• RQ5 非部分双曲系统的鲁棒遍历性是否可推出稳定遍历性，而无需依赖可访问性或部分双曲性？

主要发现

• 对任意 $f \in \mathcal{V} \cap \operatorname{Diff}^2_{\omega}(\mathbb{T}^n)$，其为稳定遍历的，即 $f$ 的 $C^1$ 邻域内所有微分同胚均为遍历的。
• 对满足 $TM = E^{cs} \oplus E^{cu}$ 上体积双曲性条件的非保守 $f \in \mathcal{V} \cap \operatorname{Diff}^2(\mathbb{T}^n)$，存在唯一SRB测度，其基域为全Lebesgue测度。
• 通过 [ABV00] 方法构造的 $cu$-Gibbs测度被证明为SRB测度，无需依赖同时双曲时间条件，原因在于 $D^\infty(x)$ 上几乎处处的 $E^{cs}$ 方向具有负Lyapunov指数。
• $\mathcal{V}$ 严格包含Bonatti与Viana（2000）构造的非部分双曲鲁棒遍历微分同胚，从而回答了他们关于稳定遍历性的开放问题。
• 证明依赖于 $D^\infty(x)$ 位于动态平坦子流形中，从而确保其上几乎所有点在 $E^{cs}$ 方向具有负Lyapunov指数，这对遍历性至关重要。
• 通过支配分解与动力系统的 $C^1$-鲁棒性，确保 $\mathcal{V}$ 中无吸引子，从而在小扰动下避免周期吸引子的存在。