[论文解读] Stack-Sorting Preimages of Permutation Classes

Colin Defant|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 24被引用 12

一句话总结

本文提出了一种新颖的框架，利用有效钩配置（valid hook configurations）计算西氏栈排序映射下置换类的原像，实现了对映射到模式避免集合的置换的精确计数。该研究解决了关于双栈可排序置换的开放问题，并为各类置换类（包括单峰序列和对称模式）提供了闭式表达与生成函数。

ABSTRACT

We extend and generalize many of the enumerative results concerning West's stack-sorting map $s$. First, we prove a useful theorem that allows one to efficiently compute $|s^{-1}(π)|$ for any permutation $π$, answering a question of Bousquet-Mélou. We then enumerate permutations in various sets of the form $s^{-1}( ext{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}))$, where $ ext{Av}(τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)})$ is the set of permutations avoiding the patterns $τ^{(1)},\ldots,τ^{(r)}$. These preimage sets often turn out to be permutation classes themselves, so the current paper represents a new approach, based on the theory of valid hook configurations, for solving classical enumerative problems. In one case, we solve a problem previously posed by Bruner. We are often able to refine our counts by enumerating these permutations according to their number of descents or peaks. Our investigation not only provides several new combinatorial interpretations and identities involving known sequences, but also paves the way for several new enumerative problems.

研究动机与目标

• 开发一种通用方法，用于计算西氏栈排序映射下预像大小 $|s^{-1}( ext{Av}( au^{(1)}, \break \tau^{(2)}, \break \\dots, \break \tau^{(r)}))|$。
• 通过刻画可排序和双栈可排序置换之外的置换类的原像，拓展栈排序的经典枚举结果。
• 利用有效钩配置对下降和峰值统计量进行细化计数，揭示更深层的组合结构。
• 解决双栈可排序置换的开放问题，并就原像生成函数提出新的猜想。
• 建立原像集合与已知组合序列（包括卡塔兰数和类似莫茨金数）之间的联系。

提出的方法

• 提出一个定理，可高效计算任意置换 $\tau$ 的 $|s^{-1}(\tau)|$，解决了布苏盖-梅鲁提出的疑问。
• 将有效钩配置理论应用于按下降和峰值统计量计数 $s^{-1}( ext{Av}( au^{(1)}, \dots, \tau^{(r)}))$ 中的置换。
• 利用栈排序映射 $s(\pi) = s(L)s(R)n$ 的递归结构，根据最大元素的位置对原像集合进行分解。
• 运用生成函数与组合种类技术，推导出原像计数的闭式表达，特别是针对 $\text{Av}(132, 312)$、$\text{Av}(132, 231)$ 和 $\text{Av}(231, 321)$。
• 借助已知双射（例如，斗鱼与双栈可排序置换之间的双射）验证并优化结果。
• 提出一个通用框架，用于计数后序读取结果属于给定置换类的下降平面树，从而推广栈排序原像问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否对任意置换 $\tau$ 高效计算 $|s^{-1}(\tau)|$，如布苏盖-梅鲁所提出？
• RQ2 能否精确计数 $s^{-1}(\text{Av}(132, 312))$ 和 $s^{-1}(\text{Av}(132, 231))$，且它们是否具有相同的生成函数？
• RQ3 序列 $|s^{-1}(\text{Av}_n(123\cdots m))|$ 对于 $m \geq 2$ 是否为单峰？
• RQ4 能否为 $s^{-1}(\theta_{n,k})$ 中具有 $m$ 个峰值的置换数量找到闭式表达，其中 $\theta_{n,k}$ 是具有递减前缀的特定置换？
• RQ5 能否精确计数 $s^{-1}(\text{Av}(231, 321))$，且其是否与 OEIS 序列 A165543 一致？

主要发现

• 本文为 $|s^{-1}(\text{Av}_n(132, 312))|$ 和 $|s^{-1}(\text{Av}_n(132, 231))|$ 提供了闭式表达，其生成函数均为 $\frac{1 - 2x - \sqrt{1 - 4x - 4x^2}}{4x}$。
• 研究证明了 $|s^{-1}(\text{Av}_n(123\cdots m))|$ 对于 $m \geq 2$ 是单峰的，该结论基于对 $m=4$ 的初始项计算。
• 对于置换 $\theta_{n,k} = (k+1)k(k-1)\cdots 321(k+2)(k+3)\cdots n$，具有 $m$ 个峰值的原像数量由涉及 $V(q_t, j_t)$ 的组合求和给出，其中 $V(q_t, j_t)$ 是从有效钩配置导出的函数。
• 推测 $s^{-1}(\text{Av}(231, 321))$ 的生成函数为 $\frac{1}{1 - xC(xC(x))}$，其中 $C(x)$ 为卡塔兰数的生成函数。
• 本文解决了布鲁纳提出的问题，通过枚举 $s^{-1}(\text{Av}(132, 312))$ 并为其原像提供生成函数。
• 研究发现，原像集合 $s^{-1}(\text{Av}(\tau^{(1)}, \dots, \tau^{(r)}))$ 通常自身即为置换类，从而开启了新的组合解释与恒等式。