[论文解读] Stack sorting, trees, and pattern avoidance

Anders Claesson, Sergey Kitaev+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2008

Genome Rearrangement Algorithms被引用 3

一句话总结

本文建立了避免广义模式 3-1-4-2 和 2-41-3 的排列与称为 β(1,0)-树的标记平面树之间的双射，后者与两栈可排序排列及平面图相关。关键贡献在于在树与排列之间建立了直接对应关系，映射了 7 个统计量，揭示了避免模式的排列与 β(1,0)-树之间比与两栈可排序排列之间更深层次的结构联系。

ABSTRACT

Abstract. The subject of pattern avoiding permutations has its roots in computer science, namely in the problem of sorting a permutation through a stack. A formula for the number of permutations of length n that can be sorted by passing it twice through a stack (where the letters on the stack have to be in increasing order) was conjectured by West, and later proved by Zeilberger. Goulden and West found a bijection from such permutations to certain planar maps, and later Cori, Jacquard and Schaeffer presented a bijection from these planar maps to certain labeled plane trees, called β(1, 0)-trees. We show that these labeled plane trees are in one-to-one correspondence with permutations that avoid the generalized patterns 3-1-4-2 and 2-41-3. We do this by establishing a bijection between the avoiders and the trees. This bijection translates 7 statistics on the trees into statistics on the avoiders. Among the statistics involved are ascents, left-to-right minima and right-toleft maxima for the permutations, and leaves and the rightmost and leftmost paths for the trees. Moreover, extensive computations of statistics on our avoiders, two-stack sortable permutations and the β(1, 0)-trees suggest that the avoiders are structurally more closely connected to the β(1, 0)-trees—and thus to the planar maps—than two-stack sortable permutations are. In connection with this we give a nontrivial involution on the β(1, 0)-trees, which specializes to an involution on unlabeled rooted plane trees, where it yields interesting results. Lastly, we conjecture the existence of a bijection between avoiders and twostack sortable permutations preserving at least four permutation statistics. 1.

研究动机与目标

• 澄清避免广义模式 3-1-4-2 和 2-41-3 的排列与 β(1,0)-树、平面图等已知组合对象之间的结构关系。
• 在这些避免模式的排列与 β(1,0)-树之间建立直接双射，映射两者之间的关键统计量。
• 研究这些避免模式的排列与 β(1,0)-树之间的联系是否比与两栈可排序排列之间的联系更具本质性。
• 通过一个非平凡对合探索 β(1,0)-树中的对称性，该对合可退化为无标号有根平面树上的对合。
• 推测在避免模式的排列与两栈可排序排列之间存在一个双射，且至少保持四个排列统计量不变。

提出的方法

• 通过从排列结构中推导出的递归树构造规则，建立避免 3-1-4-2 和 2-41-3 的排列与 β(1,0)-树之间的双射。
• 在两种组合对象之间转换 7 个统计量——如排列中的上升数、左到右最小值、右到左最大值，以及树中的叶节点、最左路径、最右路径。
• 利用已知的 β(1,0)-树与平面图之间的联系，以及平面图与两栈可排序排列之间的联系，比较其结构特性。
• 在 β(1,0)-树上引入一个非平凡对合，该对合保持树结构，并退化为无标号有根平面树上的对合。
• 通过避免模式的排列、两栈可排序排列和 β(1,0)-树的大量统计计算，比较其分布模式并推断结构上的接近程度。
• 提出一个关于避免模式的排列与两栈可排序排列之间存在双射的猜想，该双射至少保持四个排列统计量不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在避免广义模式 3-1-4-2 和 2-41-3 的排列与 β(1,0)-树之间的直接组合双射？
• RQ2 排列中的上升数、左到右最小值和右到左最大值等统计量如何与 β(1,0)-树中的叶节点和路径结构等统计量对应？
• RQ3 避免模式的排列在结构上是否比与两栈可排序排列更接近 β(1,0)-树（从而也更接近平面图）？
• RQ4 能否在 β(1,0)-树上定义一个非平凡对合，使其保持树结构并为无标号有根平面树带来有意义的对称性？
• RQ5 是否存在一个双射，将避免模式的排列与两栈可排序排列对应起来，并至少保持四个排列统计量不变？

主要发现

• 在避免广义模式 3-1-4-2 和 2-41-3 的排列与 β(1,0)-树之间建立了直接双射，证实了其结构等价性。
• 在双射下，7 个统计量——排列中的上升数、左到右最小值、右到左最大值，以及树中的叶节点、最左路径、最右路径——被证明完全对应。
• 统计计算表明，避免模式的排列在结构上比与两栈可排序排列更接近 β(1,0)-树。
• 构造了一个 β(1,0)-树上的非平凡对合，其在无标号有根平面树上退化为有意义的对合，从而揭示了新的组合洞察。
• 本文推测避免模式的排列与两栈可排序排列之间存在一个双射，且至少保持四个排列统计量不变，暗示了更深层次的内在联系。