[论文解读] Stackable groups, tame filling invariants, and algorithmic properties of groups

Mark Brittenham, Susan Hermiller|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了可堆叠群的概念——一类具有组合结构的有限生成群，该结构使得能够对标准有限表示下的范·坎普滕图进行有效且归纳的构造。定义了内在与外在的驯服填充不等式作为精细的渐近不变量，用于捕捉这些图的“起伏性”，并证明它们在利普希茨等价意义下是拟等距不变量。主要贡献在于通过堆叠性，统一了算法性质、重写系统与近乎凸性之间的框架，并将其应用于汤普森群 F、鲍姆斯拉格-索尔itar群以及具有均匀几何结构的三维流形群等群类。

ABSTRACT

We introduce a combinatorial property for finitely generated groups called stackable that implies the existence of an inductive procedure for constructing van Kampen diagrams with respect to a canonical finite presentation. We also define algorithmically stackable groups, for which this procedure is an effective algorithm. This property gives a common model for algorithms arising from both rewriting systems and almost convexity for groups. We also introduce a new pair of asymptotic invariants that are filling inequalities refining the notions of intrinsic and extrinsic diameter inequalities for finitely presented groups. These tame filling inequalities are quasi-isometry invariants, up to Lipschitz equivalence of functions (and, in the case of the intrinsic tame filling inequality, up to choice of a sufficiently large set of defining relators). We show that radial tameness functions are equivalent to the extrinsic tame filling inequality condition, and so intrinsic tame filling inequalities can be viewed as the intrinsic analog of radial tameness functions. We discuss both intrinsic and extrinsic tame filling inequalities for many examples of stackable groups, including groups with a finite complete rewriting system, Thompson's group F, Baumslag-Solitar groups and their iterates, and almost convex groups. We show that the fundamental group of any closed 3-manifold with a uniform geometry is algorithmically stackable using a regular language of normal forms.

研究动机与目标

• 定义有限生成群的一种新型组合性质——堆叠性，以实现对范·坎普滕图的归纳式、算法化构造。
• 引入内在与外在的驯服填充不等式作为精细的渐近不变量，用于度量范·坎普滕图的“起伏性”，超越简单的直径界限。
• 证明这些驯服填充不等式在拟等距变换下是不变量，至多在利普希茨等价意义下成立，从而为群不变量提供稳健的几何框架。
• 通过堆叠性这一统一框架，将现有的算法与几何构造（如有限完备重写系统与近乎凸性）统一起来。
• 证明任何具有均匀几何结构的闭三维流形的基本群均可通过正规形式的正则语言实现算法化堆叠。

提出的方法

• 通过一组正规形式及对凯莱图的组合条件定义可堆叠群，该条件允许在范·坎普滕图中归纳地替换关系式。
• 引入梳状填充结构，将范·坎普滕图与同伦配对，通过从基点的粗距离控制定义驯服填充不等式。
• 建立内在与外在驯服填充不等式通过粗距离函数度量图中峰值高度与起伏性，从而对经典直径不等式进行细化。
• 通过同伦路径与图替换的利普希茨控制，证明驯服填充不等式在拟等距变换下是不变量，至多在利普希茨等价意义下成立。
• 为关键群类显式构造堆叠结构，包括具有有限完备重写系统的群、汤普森群 F、迭代的鲍姆斯拉格-索尔他群以及可解的鲍姆斯拉格-索尔他群。
• 证明任何具有均匀几何结构的闭三维流形的基本群均存在正则语言的正规形式，因此是算法化可堆叠的。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为涵盖具有重写系统与近乎凸性等不同群类的范·坎普滕图的算法构造，发展出统一的组合框架？
• RQ2 如何在内在与外在直径函数之外，量化范·坎普滕图的“起伏性”？何种几何不变量能捕捉这一特性？
• RQ3 所提出的驯服填充不等式是否在拟等距变换下保持不变？若是，其等价关系的范围如何？
• RQ4 布里德森与莱利的径向驯服函数与新的内在驯服填充不等式之间存在何种关系？
• RQ5 哪些群类（包括具有均匀几何结构的几何群，如三维流形群）具有算法化可堆叠结构？

主要发现

• 可堆叠群允许对表示单位元的字进行有效且归纳的范·坎普滕图构造算法，且算法化可堆叠群具有可解字问题。
• 内在与外在驯服填充不等式在拟等距变换下是不变量，至多在利普希茨等价意义下成立，因此是稳健的几何不变量。
• 布里德森与莱利的径向驯服函数与外在驯服填充不等式条件等价，建立了现有不变量与新不变量之间的几何联系。
• 具有有限完备重写系统的群、汤普森群 F 与迭代的鲍姆斯拉格-索尔他群均为可堆叠群，且其驯服填充不变量可显式有界。
• 任何具有均匀几何结构的闭三维流形的基本群均可通过正则语言的正规形式实现算法化堆叠。
• 通过图替换与同伦提升构造梳状填充，确保在外在驯服性在 2-胞腔替换下保持不变，且边界由原始驯服填充函数控制。