[论文解读] Stackelberg Mean Field Games: convergence and existence results to the problem of Principal with multiple Agents in competition

Mao Fabrice Djete|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2023

Complex Systems and Time Series Analysis被引用 4

一句话总结

本文研究了在道德风险设定下，具有多个竞争代理人的委托人-代理人问题的斯塔克尔贝格均场博弈模型，其中合同是非马尔可夫的，且依赖于代理人状态与控制的经验分布。研究证明了n-代理人问题向包含代表性代理人的极限问题的收敛性，表明即使在一般合同结构下，委托人近似最优的合同仍为经验分布的映射。

ABSTRACT

In a situation of moral hazard, this paper investigates the problem of Principal with $n$ Agents when the number of Agents $n$ goes to infinity. There is competition between the Agents expressed by the fact that they optimize their utility functions through a Nash equilibrium criterion. Each Agent is offered by the Principal a contract which is divided into a Markovian part involving the state/production of the Agent and a non--Markovian part involving the states/productions of all the other Agents. The Agents are in interactions. These interactions are characterized by common noise, the empirical distribution of states/productions and controls, and the contract which is not assumed to be a map of the empirical distribution. By the help of the mean field games theory, we are able to formulate an appropriate $limit$ problem involving a Principal with a $representative$ Agent. We start by solving the problem of both the Principal and the $representative$ Agent in this $limit$ problem. Then, when $n$ goes to infinity, we show that the problem of Principal with $n$ Agents converges to the $limit$ problem of Principal with a $representative$ Agent. A notable result is that, despite allowing a general type of contracts, it is approximately optimal for the Principal to offer contracts to the $n$ Agents that are maps of the empirical distribution of states/productions and controls of the Agents.

研究动机与目标

• 分析在道德风险设定下，代理人的行为不可观测时，具有n个竞争代理人的委托人-代理人问题。
• 通过共同噪声、状态/控制的经验分布以及非马尔可夫合同来建模代理人之间的互动。
• 利用均场博弈理论建立一个极限问题，将n-代理人系统简化为代表性代理人的框架。
• 证明n-代理人问题向极限问题的收敛性，确保近似均衡与最优合同之间的一致性。
• 证明尽管合同形式一般，委托人提供作为代理人状态与控制经验分布映射的合同，仍是近似最优的。

提出的方法

• 构建依赖于所有代理人状态与控制经验分布的非马尔可夫合同的n-代理人委托人-代理人问题。
• 应用均场博弈理论，推导出包含代表性代理人的极限问题，以捕捉n → ∞时的渐近行为。
• 使用倒向随机微分方程（BSDEs）求解给定合同下代理人的优化问题。
• 应用随机控制技术求解极限问题中委托人的优化问题，通过优化代表性代理人的延续效用与产出。
• 通过双向近似建立收敛性：从n-代理人问题到极限问题，以及反之，使用ε-近似纳什均衡与合同序列。
• 证明极限合同对委托人是最优的，且在适当条件下，最佳响应会收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当n → ∞时，具有竞争代理人的n-代理人委托人-代理人问题是否收敛到包含代表性代理人的极限问题？
• RQ2 极限问题中的最优合同是否可用于构造有限n情况下的近似最优合同？
• RQ3 委托人提供作为代理人状态与控制经验分布函数的合同，是否近似最优？
• RQ4 通过共同噪声、经验测度以及非马尔可夫合同的互动如何影响解的收敛性与最优性？
• RQ5 在何种条件下，n-代理人系统中的近似均衡会收敛到均场极限下的解？

主要发现

• 在均场博弈框架下，n-代理人问题收敛到包含代表性代理人的极限问题，合同与最佳响应均实现收敛。
• 极限合同对委托人在极限问题中是最优的，且任何从n个代理人收敛的近似最佳响应序列，均收敛于代表性代理人的最佳响应。
• 在给定最优极限合同及其关联的最佳响应下，可构造出n-代理人系统的（近似）合同与最佳响应，确保极限下的一致性。
• 尽管允许一般非马尔可夫合同，委托人提供作为代理人状态与控制经验分布映射的合同，仍是近似最优的。
• 收敛性在ε-近似纳什均衡与合同序列下成立，收敛性在下极限与上极限意义下均成立。
• 通过双向近似建立结果：从有限n向极限收敛，以及从极限重建有限n，使用BSDEs与随机控制技术。