[论文解读] Stacks in Representation Theory. What is a continuous representation of an algebraic group ?

Joseph Bernstein|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文通过将代数群的表示解释为代数栈上的层，特别是栈 $B\mathcal{G} = \text{pt}/\mathcal{G}$，在表示理论中提出了一套新框架，从而将标准的连续表示范畴扩展为更大的范畴 $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$，该范畴统一了 $\mathcal{G}$ 的所有纯内形变的不可约表示。关键结果是 $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ 中的不可约对象自然与 $G = \mathcal{G}(F)$ 的所有纯内形变 $G_i$ 的不可约表示的不相交并集之间存在双射关系。

ABSTRACT

In this note I introduce a new approach to (or rather a new language for) representation theory of groups. Namely, I propose to consider a (complex) representation of a group $G$ as a sheaf on some geometric object (a stack). This point of view necessarily leads to a conclusion that the standard approach to (continuous) representations of algebraic groups is ideologically inconsistent. I propose a way to modify this approach using sheaves on stacks. In new version I corrected some misprints and added an explanation how stack's approach is related to Vogan's picture of representations.

研究动机与目标

• 解决在局部或有限域上对代数群的连续表示的标准方法中存在的哲学不一致问题。
• 提出一种使用代数栈的几何框架，以更好地捕捉表示的直观结构。
• 将 $Rep(G)$ 连续表示的范畴扩展为更大的范畴 $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$，使其包含 $G$ 的所有纯内形变的表示。
• 建立栈 $B\mathcal{G}$ 上的层与各种 $G_i$-空间上的等变层之间的自然等价关系，从而统一不可约表示的分类。

提出的方法

• 将代数群的表示建模为代数栈上的层，特别是 $B\mathcal{G} = \text{pt}/\mathcal{G}$，使用定义在域 $F$ 上的概形范畴上带有平展或光滑拓扑的范畴。
• 将栈 $B\mathcal{G}$ 上的层范畴 $Sh(B\mathcal{G})$ 定义为从群胚 $B\mathcal{G}(F)$ 到复向量空间范畴的函子范畴。
• 利用栈的下降性质，将栈 $\mathcal{X}$ 的 $F$-点与有限伽罗瓦扩张 $L/F$ 下 $L$-点的固定点联系起来。
• 将商栈 $\mathcal{X} = \mathcal{Z}/\mathcal{G}$ 的层范畴 $Sh(\mathcal{X})$ 实现为乘积 $\prod_i Sh_{G_i}(Z_i)$，其中 $G_i = \mathcal{G}_i(F)$ 且 $\mathcal{G}_i$ 是 $\mathcal{G}$ 的纯内形变。
• 利用希尔伯特定理 90，将 $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ 的研究简化为单个群 $P \cong GL(n)$，从而可将问题约化为在适当空间 $W$ 上的 $P$-等变层。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何标准范畴 $Rep(G)$ 在代数群的连续表示中存在哲学上的不一致？
• RQ2 如何自然地统一局部或有限域 $F$ 上代数群 $\mathcal{G}$ 在所有纯内形变下的表示？
• RQ3 应在哪类几何对象（栈）上定义表示，使得不可约表示能自然地从内形变的不相交并集中出现？
• RQ4 如何用 torsor 的 $F$-点上的等变层来描述代数栈 $\mathcal{X} = \mathcal{Z}/\mathcal{G}$ 上的层？
• RQ5 伽罗瓦下降在将栈的 $F$-点与伽罗瓦扩张 $L/F$ 下的 $L$-点联系起来时起什么作用？

主要发现

• 栈上 $G$-模的范畴 $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ 自然等价于栈 $B\mathcal{G}$ 上的层范畴 $Sh(B\mathcal{G})$，为表示提供了几何解释。
• 范畴 $Sh(B\mathcal{G})$ 等价于乘积 $\prod_i Sh_{G_i}(Z_i)$，其中 $G_i$ 是 $\mathcal{G}$ 的纯内形变 $\mathcal{G}_i$ 的 $F$-点，$Z_i$ 是相应的 $G_i$-空间。
• $\mathcal{M}(\mathcal{G}, F)$ 中不可约对象的集合自然同构于不相交并集 $\coprod_i \text{Irr}(G_i)$，从而消除了需分别处理不同内形变表示的需要。
• 当 $\mathcal{Z} = \text{pt}$ 时，不可约的栈上 $G$-模恰好对应于 $G$ 的所有纯内形变的不可约表示的不相交并集。
• 该构造可通过嵌入 $\mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{P} \cong GL(n)$ 简化为 $GL(n)$-等变层，借助希尔伯特定理 90 简化计算。