[论文解读] Stacks of cyclic covers of projective spaces

Alessandro Arsie, Angelo Vistoli|ArXiv.org|Jan 2, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 9

一句话总结

本文引入并研究了布劳尔-塞弗里概形的均匀循环覆盖的叠，证明它们可实现为表示空间开子集的商叠。计算了参数化光滑均匀循环覆盖的开子叠的整数佩卡德群，其为阶为 $ r(rd-1)^n \gcd(d,n+1) $ 的循环群，推广了关于双曲曲线和K3曲面作为双覆盖的已知结果。

ABSTRACT

We define stacks of uniform cyclic covers of Brauer-Severi schemes, proving that they can be realized as quotient stacks of open subsets of representations, and compute the Picard group for the open substacks parametrizing smooth uniform cyclic covers. Moreover, we give an analogous description for stacks parametrizing triple cyclic covers of Brauer-Severi schemes of rank 1, which are not necessarily uniform, and give a presentation of the Picard group for substacks corresponding to smooth triple cyclic covers.

研究动机与目标

• 定义并研究布劳尔-塞弗里概形的均匀循环覆盖叠作为商叠。
• 计算参数化光滑均匀循环覆盖的开子叠的整数佩卡德群。
• 将框架扩展至射影直线的非均匀三重循环覆盖。
• 通过双次数计算完整描述光滑三重循环覆盖的佩卡德群。
• 利用群作用和等变几何推广先前关于曲线和K3曲面模空间的结果。

提出的方法

• 使用通过 $μ_r$-作用和层分解定义的均匀循环覆盖的范畴框架。
• 将叠表示为商叠 $[U/G]$，其中 $U$ 是表示空间的开子集，$G$ 是一般线性群与乘法群的直积。
• 应用基尔曼程序以建议光滑部分的自然紧化。
• 应用等变查沃环技术及在射影空间上的双次数计算来计算除子类。
• 使用帕尔迪尼的约化建筑数据和米里对三重覆盖的理论分析非均匀情形。
• 通过显式计算判别式和零点集的次数推导佩卡德群中的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将布劳尔-塞弗里概形的均匀循环覆盖叠描述为商叠？
• RQ2 光滑均匀循环覆盖叠的整数佩卡德群的结构是什么？
• RQ3 该框架能否扩展至射影直线的非均匀三重循环覆盖？
• RQ4 射影直线上的光滑三重循环覆盖叠的佩卡德群是什么？
• RQ5 判别式和零点集的双次数如何贡献于佩卡德群的计算？

主要发现

• 维度为 $n$ 的布劳尔-塞弗里概形上度为 $r$ 的光滑均匀循环覆盖叠 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(n,r,d)$ 同构于表示空间开子集 $U$ 的商叠 $[U/G]$。
• 叠 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(n,r,d)$ 的整数佩卡德群是阶为 $ r(rd-1)^n \gcd(d,n+1) $ 的循环群。
• 对于亏格为 $g$ 的双曲曲线，若 $g$ 为偶数，则 $\mathcal{H}_g$ 的佩卡德群是阶为 $2(2g+1)$ 的循环群；若 $g$ 为奇数，则阶为 $4(2g+1)$。
• 射影直线上的光滑三重循环覆盖叠 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(1,3;d_1,d_2)$ 也是商叠，其佩卡德群可通过双次数关系给出表示。
• 叠 $\mathcal{H}_{\mathrm{sm}}(1,3;d_1,d_2)$ 的佩卡德群由三个关系生成，这些关系源自判别式和零点集，其显式双次数取决于 $d_1$ 和 $d_2$ 的奇偶性。
• 计算表明，当 $d_1$ 为奇数时，判别超曲面 $\Delta_1$ 的类为 $2(2d_1 - d_2 - 1)v_1 - (d_2 + 2)(2d_1 + d_2 - 1)v_2$；当 $d_1$ 和 $d_2$ 均为偶数时，类为 $2(2d_1 - d_2 - 1)v_1 - 4(2d_1 - d_2 - 1)v_2$。