[论文解读] Stacks of ramified Galois covers

Fabio Tonini|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

本文研究有限群概形的分支伽罗瓦覆叠堆，聚焦于非交换群（如 $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 和 $S_3$）的 $G$-Cov 堆的结构。证明了 $G$-Cov 是代数的且有限表示的，并为 $S_3$-覆叠的曲面提供了显式的几何与上同调不变量，包括基于底面曲面及其相关向量丛的 $K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$ 和 $p_g(X)$ 的公式。

ABSTRACT

Given a finite, flat and finitely presented group scheme $G$ over some base $S$, we introduce the notion of ramified $G$-covers and study the moduli stack $G$-Cov they form. The thesis is divided in three parts. The first one concerns the case when $G$ is a diagonalizable group scheme and it essentially coincides with arxiv:1106.2347. In the second part I deal with the general case. Assuming that the base S is affine and given an $S$-scheme $T$, I interpret $G$-covers of $T$ as particolar (lax) monoidal functors from the category of finite, $G$-equivariant locally free sheaves over $S$ to the category of finite locally free sheaves over $T$, extending the classical Tannakian correspondence between $G$-torsors and strong monoidal functors as above. Using this point of view, I prove that $G$-Cov is always reducible if $G$ is a non-abelian linearly reductive group. When $G$ is constant and tame I also give a criterion to detect when a $G$-cover of a regular in codimension one, integral scheme has regular in codimension one total space in terms of the functor associated with the cover. In the last part I focus on the case $G=S_3$, prove that $S_3$-Cov has exactly two irreducible components and describe the principal one. I also describe particular open loci of $S_3$-Cov, that is particular families of $S_3$-covers, classify $S_3$-covers of regular schemes whose total space is regular and compute the invariants of $S_3$-covers of smooth surfaces.

研究动机与目标

• 描述有限平坦群概形 $G$ 的 $G$-伽罗瓦覆叠堆 $G$-Cov 的代数与几何结构。
• 将已知的阿贝尔群（如 $\mu_n$）的 $G$-覆叠描述扩展至非阿贝尔群，特别是 $S_3$ 和 $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$。
• 为基于底面曲面数据的 $S_3$-曲面覆叠提供显式不变量，如 $K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$ 和 $p_g(X)$。
• 分析 $G$-Cov 堆的不可约分支与正规性性质，特别是在余维数一的情形。
• 证明堆 $G$-Cov 关于基概形 $S$ 是代数的且有限表示的。

提出的方法

• 使用堆与代数几何的框架，将 $G$-覆叠定义为有限、平坦、$G$-不变的态射 $f: X \to Y$，使得 $f_*\mathcal{O}_X$ 作为余模在局部上同构于正则表示 $\mathcal{O}_Y[G]$。
• 应用对角化群概形与 $M$-分次代数的理论来描述 $\textup{D}(M)$-覆叠，特别是当 $M = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$ 时。
• 采用不变量 $h: |\textup{D}(M)\text{-Cov}| \to \mathbb{N}$ 来按关联代数的生成元数量分类覆叠，重点关注 $h \leq 2$ 的情形。
• 通过向量丛 $\mathcal{F}$ 与映射 $\delta: \det\mathcal{F} \to \mathcal{L}$ 的三重覆叠构造分析 $S_3$-覆叠，几何分支由 $\alpha$、$\beta$ 和 $\delta$ 的非退化条件定义。
• 利用 Riemann-Roch 定理与层上同调，推导出 $K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$ 和 $p_g(X)$ 关于 $K_Y$、$c_1(\mathcal{F})$、$c_2(\mathcal{F})$ 与 $\chi(\mathcal{O}_Y)$ 的公式。
• 通过因子分解 $X \to X' \to Y$（分别对应度数 2 与 3 的覆叠）利用邻接公式与 $X'$ 上的交比理论计算典范不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何代数与几何地描述非阿贝尔有限群概形（如 $S_3$）的 $G$-Cov 堆？
• RQ2 基于底面曲面数据，$S_3$-曲面覆叠的关键不变量（如 $K_X^2$、$\chi(\mathcal{O}_X)$ 与 $p_g(X)$）是什么？
• RQ3 $S_3$-Cov 堆的不可约分支是什么？它们如何与底面几何及关联向量丛相关？
• RQ4 在何种条件下，$G$-覆叠在余维数一处是正则或正规的，特别是针对 $\mu_3 \rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-覆叠？
• RQ5 $G$-Cov 堆的结构如何与线性重新性群的等变层与张量函子理论相关联？

主要发现

• 堆 $G$-Cov 关于基概形 $S$ 是代数的且有限表示的，且 $\textup{B}G$（$G$-主齐性空间的堆）是 $G$-Cov 的一个开子堆。
• 对于 $S_3$-曲面覆叠，典范除子平方的公式为 $K_X^2 = 6K_Y^2 - 8c_1(\mathcal{F})K_Y + 4c_1(\mathcal{F})^2 - 6c_2(\mathcal{F}) - \frac{10}{3}\mu^2 - 4\mu K_Y + 2C^2 + 4CK_{X'}$，该公式由因子分解与 Riemann-Roch 推导得出。
• 结构层的欧拉示性数满足 $\chi(\mathcal{O}_X) = \chi(\mathcal{O}_Y) + \chi(\mathcal{F}) + \chi(\mathcal{L})$，其中 $\chi(\mathcal{L})$ 通过 $\mu$ 与 $c_1(\mathcal{F})$ 计算得出。
• 几何亏格由 $p_g(X) = p_g(Y) + h^2(\mathcal{F})$ 给出，将 $X$ 的不正则性与向量丛 $\mathcal{F}$ 的上同调联系起来。
• $S_3$-Cov 的主要不可约分支 $\mathcal{Z}_{S_3}$ 由映射 $\delta: \det\mathcal{F} \to \mathcal{L}$ 的非退化性与 $\beta: \textup{Sym}^2\mathcal{F} \to \mathcal{F}$ 的非零性所刻画。
• 正则 $S_3$-覆叠是指其关联的三重覆叠光滑且底面在余维数一处正则的覆叠，此类覆叠满足关于 $Y$ 与 $\mathcal{F}$ 不变量的 $K_X^2$ 与 $\chi(\mathcal{O}_X)$ 的显式公式。