[论文解读] Standard model physics from an algebra?

C. Furey|arXiv (Cornell University)|Nov 16, 2016

Quantum Mechanics and Applications被引用 46

一句话总结

本文提出，标准模型的粒子内容和规范对称性可从代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 —— 四个赋值除法代数的张量积中涌现。通过分析 𝕜⊗ℍ 和 𝕜⊗𝕆（其中 𝕜=ℂ）中的广义理想与极小左理想，该研究推导出洛伦兹表示、SU(3)ₚ 和 U(1)ₑₘ 对称性，以及一个基础的电弱模型，其中包含左手 SU(2)ₗ 耦合。关键成果是：以统一的代数方式构造出三重味的夸克与轻子，其电荷量子数正确无误。

ABSTRACT

This thesis constitutes a first attempt to derive aspects of standard model particle physics from little more than an algebra. Here, we argue that physical concepts such as particles, causality, and irreversible time may result from the algebra acting on itself. We then focus on a special case by considering the algebra $\mathbb{R}\otimes\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\otimes\mathbb{O}$. Using nothing more than $\mathbb{R}\otimes\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\otimes\mathbb{O}$ acting on itself, we set out to find standard model particle representations. From the complex quaternionic portion of the algebra, we find generalized ideals, and show that they describe concisely all of the Lorentz representations of the standard model. From the complex octonionic portion of the algebra, we find minimal left ideals, and show that they mirror the behaviour of a generation of quarks and leptons under $su(3)_c$ and $u(1)_{em}$. We then demonstrate a rudimentary electroweak model which yields a straightforward explanation as to why $SU(2)_L$ acts only on left-handed states. This holds in the case of leptons. Finally, we demonstrate how $\mathbb{C}\otimes\mathbb{O}$ can generate a 64-$\mathbb{C}$-dimensional algebra, wherein we find the $SU(3)_c$ irreducible representations corresponding to three generations of quarks and leptons. We then conclude by showing how to arrive at all 48 electric charges.

研究动机与目标

• 探索粒子物理中的基本概念（如粒子、因果性与时间）是否可从初始假设最少的代数结构中涌现。
• 研究标准模型的规范对称性与费米子表示是否可从代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 推导而出。
• 证明电荷、色荷与弱同位spin 可自然地从代数的升降算符与对称性中产生。
• 构建一个模型，利用八元数部分重现三重味的夸克与轻子，并满足正确的 U(1)ₑₘ 电荷。

提出的方法

• 使用代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆，研究 𝕜⊗ℍ（𝕜=ℂ）中的广义理想，以恢复标准模型的洛伦兹表示。
• 分析 𝕜⊗𝕆（𝕜=ℂ）中的极小左理想，以在 SU(3)ₚ 与 U(1)ₑₘ 下建模一重味的夸克与轻子。
• 识别代数中对应于 SU(3)ₚ、U(1)ₑₘ 与 SU(2)ₗ×U(1)Y 的对称性的升降算符。
• 将来自 𝕜⊗𝕆 的 SU(3)ₚ 生成元作用于一个 64 维复空间，将其分解为三重味的费米子。
• 利用右乘法与代数共轭的类比，区分左右手态，解释 SU(2)ₗ 的手征性。
• 在 𝕜⊗ℍ 中构建一个轻子子空间，以建模电弱对称性，并说明 SU(2)ₗ 仅作用于左手费米子。

实验结果

研究问题

• RQ1 标准模型的规范对称性 —— SU(3)ₚ、SU(2)ₗ 与 U(1)ₑₘ —— 是否能唯一地从代数结构 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 中涌现？
• RQ2 电荷与色荷如何被解释为源自代数升降算符的数算符？
• RQ3 为何 SU(2)ₗ 仅作用于左手费米子？这一性质能否通过代数方式推导？
• RQ4 代数结构 𝕜⊗𝕆 是否能生成三重味的夸克与轻子，并满足正确的 U(1)ₑₘ 电荷？
• RQ5 是否存在一种系统性的代数机制，可统一标准模型的洛伦兹、味与规范对称性？

主要发现

• 𝕜⊗ℍ（𝕜=ℂ）中的广义理想重现了标准模型的所有洛伦兹表示，包括外尔、狄拉克与马约拉纳旋量。
• 𝕜⊗𝕆（𝕜=ℂ）中的极小左理想在 SU(3)ₚ 与 U(1)ₑₘ 下建模了一重味的夸克与轻子，电荷作为数算符自然出现。
• 轻子子空间中升降算符的对称代数唯一生成 SU(2)ₗ 与 U(1)Y，且 SU(2)ₗ 仅作用于左手态，原因在于右乘法的代数结构。
• 𝕜⊗𝕆 在自身上的作用生成一个 64 维复空间，其在 SU(3)ₚ 下可分解为三重味的夸克与轻子。
• 通过扩展 SU(3)ₚ 表示结构，该模型在三重味中重现了全部 48 个费米子的 U(1)ₑₘ 电荷。
• 代数 ℝ⊗ℂ⊗ℍ⊗𝕆 提供了一个统一框架，其中规范对称性、粒子表示与电荷量化均源自内在代数性质，无需人为假设。