[论文解读] Stanley-Reisner rings for symmetric simplicial complexes, G-semimatroids and Abelian arrangements

Alessio D’Alì, Emanuele Delucchi|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 48被引用 3

一句话总结

该论文将斯坦利-雷伊纳德环理论推广至具有群作用的对称单纯复形与G-半模态，并通过在有限长度单纯偏序集中引入群作用，证明了在平移群作用下不变环同构于商偏序集的斯坦利-雷伊纳德环，且在特征0及所有不整除显式可计算不变量δ的特征下，给出了商偏序集为科恩-麦克aul伊的条件。该理论适用于阿贝尔排列，包括环面、椭圆及(p,q)-排列，其中h多项式与贝蒂数由群作用的图 Tutte 多项式决定。

ABSTRACT

We extend the notion of face rings of simplicial complexes and simplicial posets to the case of finite-length (possibly infinite) simplicial posets with a group action. The action on the complex induces an action on the face ring, and we prove that the ring of invariants is isomorphic to the face ring of the quotient simplicial poset under a mild condition on the group action. We also identify a class of actions on simplicial complexes that preserve the homotopical Cohen-Macaulay property under quotients. 
 
 When the acted-upon poset is the independence complex of a semimatroid, the h-polynomial of the ring of invariants can be read off the Tutte polynomial of the associated group action. Moreover, in this case an additional condition on the action ensures that the quotient poset is Cohen--Macaulay in characteristic 0 and every characteristic that does not divide an explicitly computable number. This implies the same property for the associated Stanley--Reisner rings. In particular, this holds for independence posets and rings associated to toric, elliptic and, more generally, (p,q)-arrangements. 
 
 As a byproduct, we prove that posets of connected components (also known as posets of layers) of such arrangements are Cohen-Macaulay with the same condition on the characteristic.

研究动机与目标

• 将斯坦利-雷伊纳德环理论推广至具有群作用的单纯偏序集，特别是当偏序集与群可能为无限时。
• 刻画群作用的条件，使得商偏序集保持单纯性，且不变环同构于商偏序集的斯坦利-雷伊纳德环。
• 识别使商偏序集及其关联的斯坦利-雷伊纳德环在特征0及所有不整除可计算整数δ的特征下为科恩-麦克aul伊的条件。
• 通过将理论应用于阿贝尔排列——如环面、椭圆及(p,q)-排列——将它们的拓扑与代数不变量与群作用的图 Tutte 多项式联系起来。

提出的方法

• 将斯坦利-雷伊纳德环推广至有限长度单纯偏序集，对任意此类偏序集P定义R(P)。
• 定义单纯偏序集上的平移群作用，并证明此类作用保持商偏序集P/G的单纯结构。
• 在平移作用下，建立不变环R(P)^G与斯坦利-雷伊纳德环R(P/G)之间的同构。
• 引入“精化”作用（强于平移性）的概念，并证明在该类作用下，商偏序集在特征0及所有不整除δ的特征下为科恩-麦克aul伊。
• 利用布雷东引理推导特征限制，并将商环的h多项式与群作用的图 Tutte 多项式联系起来。
• 通过将(p,q)-排列提升至其万有覆叠中的周期排列，将该框架应用于(p,q)-排列，并证明层的偏序集为几何半格。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，单纯偏序集在群作用下的商仍为单纯偏序集？
• RQ2 在何种条件下，斯坦利-雷伊纳德环在群作用下的不变环同构于商偏序集的斯坦利-雷伊纳德环？
• RQ3 在何种条件下，商偏序集及其关联的斯坦利-雷伊纳德环在特征0及所有不整除给定整数δ的特征下为科恩-麦克aul伊？
• RQ4 商环的h多项式与贝蒂数如何与群作用的图 Tutte 多项式相关？
• RQ5 该结果在多大程度上可推广至阿贝尔排列，包括环面、椭圆及(p,q)-排列？

主要发现

• 对于任意有限长度单纯偏序集P上的平移群作用，不变环R(P)^G同构于R(P/G)。
• 若作用为解耦且群为阿贝尔群，则商偏序集P/G为同伦科恩-麦克aul伊。
• 对于半模态上的精化作用，商偏序集P/G在特征0及所有不整除δ的特征下为科恩-麦克aul伊，其中δ为显式可计算的整数。
• R(P/G)的h多项式由作用的图 Tutte 多项式求值给出，如引理8.8.(i)所示。
• 任意阿贝尔排列A的层偏序集C(A)在特征0及所有不整除δSA的特征下为科恩-麦克aul伊，其中δSA由作用可计算。
• 对于(p,q)-排列A，斯坦利-雷伊纳德环R(A)同构于周期排列A^æ的不变环，且其h多项式由作用的图 Tutte 多项式决定。