[论文解读] Stanley-Wilf limits are typically exponential

Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 30被引用 60

一句话总结

本文推翻了关于长度为 k 的排列的 Stanley-Wilf 极限以 Θ(k²) 的速度增长的长期猜想。通过概率论与极值组合数学的方法，本文表明：对于 k 个字母的几乎全部排列 π，Stanley-Wilf 极限 L(π) 的增长速度为 2^{k^{Θ(1)}}，表明其增长速度远快于二次方，从而解决了排列模式避免领域中的一个核心开放问题。

ABSTRACT

For a permutation $\pi$, let $S_{n}(\pi)$ be the number of permutations on $n$ letters avoiding $\pi$. Marcus and Tardos proved the celebrated Stanley-Wilf conjecture that $L(\pi)= \lim_{n o \infty} S_n(\pi)^{1/n}$ exists and is finite. Backed by numerical evidence, it has been conjectured by many researchers over the years that $L(\pi)=\Theta(k^2)$ for every permutation $\pi$ on $k$ letters. We disprove this conjecture, showing that $L(\pi)=2^{k^{\Theta(1)}}$ for almost all permutations $\pi$ on $k$ letters.

研究动机与目标

• 解决关于所有长度为 k 的排列 π，Stanley-Wilf 极限以 Θ(k²) 的速度增长的猜想。
• 研究随机排列 π（长度为 k）的 Sₙ(π)¹ᐟⁿ 的渐近增长速率，即 Stanley-Wilf 极限 L(π)。
• 确定关于排列长度 k 的二次方增长猜想是否对典型或一般排列 π 成立。
• 建立一个新渐近界以捕捉 Stanley-Wilf 极限的典型行为。

提出的方法

• 应用概率方法分析长度为 k 的随机排列 π 的结构。
• 使用极值组合数学来界定避免给定模式 π 的排列数量。
• 证明：对于几乎所有 π，增长速率 L(π) 的下界为 2^{k^{c}}（其中 c > 0）。
• 利用 Marcus-Tardos 定理，该定理保证了 L(π) = lim Sₙ(π)¹ᐟⁿ 的存在性与有限性。
• 分析 Sₙ(π) 的指数阶数量级，以推导 L(π) 的渐近行为。
• 证明：二次方猜想在正密度的排列中不成立，实际上在 k 增大时对几乎所有排列均不成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每个长度为 k 的排列 π，Stanley-Wilf 极限 L(π) 是否以 Θ(k²) 的速度增长？
• RQ2 在所有长度为 k 的排列 π 中，L(π) 的典型增长速率是什么？
• RQ3 是否可以将二次方增长猜想推广到几乎所有排列？还是其在一般情况下不成立？
• RQ4 当 π 从所有长度为 k 的排列中均匀随机选取时，L(π) 的正确渐近阶量级是什么？
• RQ5 Sₙ(π) 的指数增长如何影响随机 π 下的极限 L(π)？

主要发现

• 关于所有长度为 k 的排列 π，L(π) = Θ(k²) 的猜想是错误的。
• 对于几乎全部长度为 k 的排列 π，Stanley-Wilf 极限满足 L(π) = 2^{k^{Θ(1)}}，表明其为超多项式但亚指数增长。
• 对于典型排列，L(π) 的增长速率远快于二次方，与广泛存在的数值证据和直觉相矛盾。
• 该结果表明：典型 Stanley-Wilf 极限的增长速度超过任何关于 k 的多项式，但慢于 k 的指数函数。
• 该证明表明：二次方猜想在正密度的排列中不成立，实际上在 k 增大时对几乎所有排列均不成立。
• L(π) 的渐近行为由随机排列的极值结构决定，导致其增长速度远快于此前所认为的。