[论文解读] Star Edge Coloring of the Cartesian Product of Graphs

Behnaz Omoomi, Marzieh Vahid Dastjerdi|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2018

Advanced Graph Theory Research参考文献 10被引用 3

一句话总结

本文為圖的笛卡爾積確立了緊緻的星色指數上界，特別是精確確定了二維格網的星色指數，並為d維格網、超立方體和環面格網提供了上界。本文引入了一種新型星相容性框架，並利用環與路徑的結構性質推導出結果，主要發現包括：當 m,n ≥ 2 時，χ′s(Pm □ Pn) = 5，且 χ′s(Qd) ≤ 2d−2，此界在 d=3,4 時為緊緻的。

ABSTRACT

A star edge coloring of a graph $G$ is a proper edge coloring of $G$ such that every path and cycle of length four in $G$ uses at least three different colors. The star chromatic index of a graph $G$, is the smallest integer $k$ for which $G$ admits a star edge coloring with $k$ colors. In this paper, we first obtain some upper bounds for the star chromatic index of the Cartesian product of two graphs. We then determine the exact value of the star chromatic index of $2$-dimensional grids. We also obtain some upper bounds on the star chromatic index of the Cartesian product of a path with a cycle, $d$-dimensional grids, $d$-dimensional hypercubes and $d$-dimensional toroidal grids, for every positive integer $d$.

研究动机与目标

• 彙整笛卡爾積圖（特別是格網與超立方體）在星色指數上精確邊界之缺乏的問題。
• 為d維格網、超立方體與環面格網的星色指數確立緊緻的上界。
• 為二維格網（Pm □ Pn）提供星色指數的精確值，並對 Pm □ Cn 提供部分結果。
• 引入並應用「星相容性」概念，以推導笛卡爾積的新上界。
• 提出猜想：對所有 m,n ≥ 3，Cm □ Cn 的星色指數至多為 7。

提出的方法

• 提出基於星相容性的新框架，以 G □ H 的星色指數，根據 G 與 H 的星色指數與色數來界定。
• 利用定理 1 推導一般上界：χ′s(G □ H) ≤ min{χ′s(G)χ(H) + χ′s(H), χ′s(H)χ(G) + χ′s(G)}。
• 應用 (k,r)-星可著色性至環，顯示偶環為 (4,2)-星可著色，而奇環（除 C3 外）為 (7,3)-星可著色。
• 運用數學歸納法與已知基底案例（例如 χ′s(C4 □ C4) = 6）來界定高維超立方體的星色指數。
• 應用推論 1 與定理 2，將上界延伸至d維環面格網，根據環的奇偶性區分情況。
• 利用結構著色模式與情況分析，根據 m 與 n 的奇偶性，推導 Cm □ Cn 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於所有 m,n ≥ 2，二維格網 Pm □ Pn 的星色指數精確值為何？
• RQ2 Pm □ Cn 的星色指數行為如何？其在無窮多組 m 與 n 下的精確值為何？
• RQ3 可為 d 維格網、超立方體與環面格網的星色指數確立哪些上界？
• RQ4 笛卡爾積的星色指數與其因子的星色指數之間有何關係？
• RQ5 Cm □ Cn 的星色指數能否被統一界定？是否可能對所有 m,n ≥ 3，有 χ′s(Cm □ Cn) ≤ 7？

主要发现

• 對於所有整數 m,n ≥ 2，二維格網 Pm □ Pn 的星色指數精確為 5。
• 對於笛卡爾積 Pm □ Cn，星色指數至多為 7，且已為無窮多組 m 與 n 確定精確值。
• d 維超立方體 Qd 的星色指數至多為 2d−2，且此上界在 d=3 與 d=4 時為緊緻的。
• 兩個偶環的笛卡爾積 Cm □ Cn 的星色指數至多為 7；對於奇環，其星色指數至多為 10。
• 當所有 li 為偶數時，d 維環面格網 Tl₁,l₂,…,ld 為 (4d,2)-星可著色，且 χ′s ≤ 4d−1。
• 當所有 li > 3 時，d 維環面格網 Tl₁,l₂,…,ld 為 (7d,3)-星可著色，進而得出 χ′s ≤ 7d−4。