[论文解读] Star fows and multisingular hyperbolicity

Christian Bonatti, Adriana da Luz|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Geometric and Algebraic Topology参考文献 17被引用 13

一句话总结

本文引入了多重奇点双曲性（multisingular hyperbolicity），这是一种广义的双曲结构，统一了在维数 ≥5 的流形上星流（star flows）中不同指标奇点与正常轨道的双曲行为。证明了多重奇点双曲性蕴含星性质（star property），且在维数 ≥5 时，拟然星流（generic star flows）几乎必然为多重奇点双曲性，从而克服了经典奇点双曲性在高维情形下的局限性。

ABSTRACT

A vector field X is called a star flow if every periodic orbit, of any vector field C1-close to X, is hyperbolic. It is known that the chain recurrence classes of a generic star flow X on a 3 or 4 manifold are either hyperbolic or singular hyperbolic (see [MPP] for 3-manifolds and [GLW] on 4-manifolds). As it is defined, the notion of singular hyperbolicity forces the singularities in the same class to have the same index. However, in higher dimension (i.e $\geq 5$) \cite{BdL} shows that singularities of different indices may be robustly in the same chain recurrence class of a star flow. Therefore the usual notion of singular hyperbolicity is not enough for characterizing the star flows. We present a form of hyperbolicity (called multi-singular hyperbolic) which makes compatible the hyperbolic structure of regular orbits together with the one of singularities even if they have different indices. We show that multisingular hyperbolicity implies that the flow is star, and conversely, there is a C1-open and dense subset of the an open set of star flows which are multisingular hyperbolic. More generally, for most of the hyperbolic structures (dominated splitting, partial hyperbolicity etc...) well defined on regular orbits, we propose a way for generalizing it to a compact set containing singular points.

研究动机与目标

• 为解决在维数 ≥5 的流形上，经典奇点双曲性无法刻画星流的问题，其中不同指标的奇点可在同一链递归类中鲁棒共存。
• 构建一种广义双曲结构——多重奇点双曲性，以容纳正常轨道及不同指标奇点的双曲性。
• 证明多重奇点双曲性蕴含星性质，确保在小 C¹ 逼近下所有周期轨道保持双曲性。
• 证明在维数 ≥5 的流形上，多重奇点双曲星流的集合在星流空间中为 C¹ 开稠密。
• 将支配分解（dominated splittings）与部分双曲性（partial hyperbolicity）的框架推广至包含奇点的紧致不变集，将经典双曲理论扩展至含奇点的情形。

提出的方法

• 将多重奇点双曲性定义为在射影化切丛上的双曲结构，通过重参数化线性庞加莱映射（reparametrized linear Poincaré flow）与不同指标奇点相容。
• 沿连接不同指标奇点的轨道构造局部双曲旗（稳定与不稳定旗），确保稳定与不稳定分布的横截相交。
• 利用法丛上的线性庞加莱映射定义双曲性，当全局切丛分裂不存在时，适配奇点双曲性中的技术。
• 在向量场构造中对拼接映射施加开性与稠密性条件，以确保旗的横截相交，从而保证扩展的最大不变集的双曲性。
• 证明在包含多个不同指标奇点的链递归类邻域中，最大不变集在重参数化线性庞加莱映射下为双曲。
• 通过引入射影化流结构与不同指标奇点的行为，将支配分解与部分双曲性的概念推广至包含奇点的紧致集合。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典奇点双曲性能否推广至维数 ≥5 的星流，以刻画在相同链递归类中鲁棒共存的不同指标奇点？
• RQ2 是否存在一种统一的双曲结构，能在一个不变集中同时捕捉正常轨道与不同指标奇点的双曲性？
• RQ3 多重奇点双曲性是否蕴含星性质，确保附近向量场的所有周期轨道保持双曲？
• RQ4 在维数 ≥5 的流形上，多重奇点双曲星流的集合是否在星流空间中为 C¹ 开稠密？
• RQ5 支配分解与部分双曲性的框架能否推广至包含不同指标奇点的紧致不变集？

主要发现

• 多重奇点双曲性被定义为在射影化切丛上的双曲结构，通过重参数化线性庞加莱映射统一了正常轨道与不同指标奇点的双曲性。
• 本文证明了多重奇点双曲性蕴含星性质：任何多重奇点双曲的向量场，在 C¹ 逼近下其所有周期轨道均保持双曲。
• 在维数 ≥5 的流形上星流空间中，存在一个 C¹ 开稠密子集，其成员均为多重奇点双曲星流。
• 通过构造包含两个不同指标奇点（σ₀ 与 σ₁）的例子，表明尽管该链递归类非奇点双曲，但其为多重奇点双曲，从而证明了新框架的必要性。
• 在链递归类邻域 U 中，最大不变集 B(U,X) 对重参数化线性庞加莱映射为双曲，其稳定与不稳定旗沿轨道延伸且横截相交。
• 该结果将支配分解与部分双曲性的概念推广至包含不同指标奇点的紧致集合，将双曲理论的适用范围从经典奇点双曲性扩展至更一般情形。