[论文解读] Star Product Reduction for Coisotropic Submanifolds of Codimension 1

Peter Gloessner|ArXiv.org|May 11, 1998

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种在相空间中余维数为1的共变子流形上星积的构造性约化程序，无需依赖对称性或群作用。它使用单个约束函数显式计算了约化后的星积，表明对于同一子流形，不同的约束函数会产生非等价的约化星积，突显了约束选择的依赖性。

ABSTRACT

We propose a reduction procedure that leads to a reduced star product on the reduced phase space of a `First Class'-constrained system, where no symmetries, group actions or the like are present. For the case that the coisotropic submanifold has codimension 1, we establish a constructive method to compute the reduced star product explicitly. Concluding examples show that this method depends crucially on the constraint function singled out to describe the constrained submanifold and not only on this submanifold itself, and that two different constraint functions for the same constraint submanifold will generally result in not only different but inequivalent reduced star products.

研究动机与目标

• 开发一种在不依赖群作用或对称性的情况下，对余维数为1的共变子流形上的星积进行约化的程序。
• 建立一种显式计算约束相空间上约化星积的方法。
• 研究约束函数的选择如何影响最终的约化星积。
• 证明不同的约束函数即使描述同一子流形，也可能导致非等价的星积。
• 为仅使用约束函数的第一类约束系统提供星积约化的框架。

提出的方法

• 该方法直接从定义余维数为1的共变子流形的约束函数构造约化星积。
• 采用形式形变量化方法推导约化空间上的星积。
• 约化过程不依赖于对称群或动量映射条件。
• 该程序依赖于特定的约束函数选择，而不仅仅是子流形本身。
• 该方法涉及求解一个递归方程组，以确定变形参数阶次内的星积系数。
• 该构造是显式且算法化的，允许逐步计算约化星积。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不依赖群对称性或动量映射的情况下，对余维数为1的共变子流形上的星积进行约化？
• RQ2 约化星积的显式形式如何用约束函数表示？
• RQ3 当描述同一子流形时，约束函数的选择是否会影响最终的约化星积？
• RQ4 不同的约束函数是否可能为同一共变子流形产生非等价的星积？
• RQ5 约束函数在决定约化星积的代数结构中起什么作用？

主要发现

• 约化星积的关键取决于用于定义共变子流形的具体约束函数，而不仅仅是子流形本身。
• 描述同一共变子流形的不同约束函数通常会导致非等价的约化星积。
• 该约化程序是构造性的，且对余维数为1的共变子流形可显式计算。
• 该方法无需任何对称性或群作用，因此适用于一般的第一类约束系统。
• 该程序建立了约束选择与约化空间上形变量化结果之间的直接联系。
• 结果表明，该约化并非唯一，且对约束曲面的参数化方式敏感。