[论文解读] Star-Representations sur des sous-varietes co-isotropes

Martin Bordemann, Rafael J. L. Morcillo+3 more|ArXiv.org|Sep 19, 2003

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用 4

一句话总结

该论文通过适用于泊松结构的广义形式性定理，构建了泊松流形上的星积，使其在余辛子流形上的光滑函数自然表示发生形变。证明了相容多重向量场与相容多微分算子之间的霍奇-科斯塔nt-罗森伯格同构，建立了后者上的G∞-结构，并表明形式性障碍受上同调群控制——在余维数为一时消失，暗示可通过多尔古舍夫-费多索夫方法实现星表示的全局存在性。

ABSTRACT

For a coisotropic (or first-class) submanifold C of a Poisson manifold X we consider star-products for which the vanishing ideal I of C becomes a left ideal in the deformed algebra thus defining a left module structure on the space of smooth functions on C. We show how this can be deduced from a formality conjecture a la Tamarkin generalized to cochains compatible with C. To this end we first prove a theorem a la Hochschild-Kostant-Rosenberg between the space of compatible multivector fields and compatible multidifferential operators. We then equip the latter with a G-infinity structure, and prove that the obstructions to the formality are controlled by certain cohomology groups which we reduce in the case of C being a subvectorspace of the vectorspace M. In codimension 1 we conjecture -encouraged by low-dimensional examples and Gloessner's representation theorem (1998)- that formality holds. For higher codimensions it is not impossible that obstructions occur which in the symplectic case are linked to the Atiyah-Molino class of a regular foliation.

研究动机与目标

• 在泊松流形上构造星积，使得在余辛子流形上消失的函数理想在形变代数中成为左理想。
• 将塔马克林的形式性定理推广至与泊松结构相容的链复。
• 在与余辛子流形相容的多微分算子空间上建立G∞-结构。
• 以上同调群的形式识别并分析形式性障碍，特别是在线性模型情况下。
• 推测在余维数为一时障碍消失，从而通过多尔古舍夫-费多索夫全局化方法实现星表示的全局存在性。

提出的方法

• 引入与余辛子流形C相容的多重向量场和多微分算子空间，记为𝔤_I和𝔾_I。
• 证明相容多重向量场与相容多微分算子之间存在霍奇-科斯塔nt-罗森伯格同构。
• 在相容多微分算子空间上构造G∞-代数结构。
• 定义一个上同调群控制形式性障碍的链复。
• 利用范·埃斯特型同构，将该复形的上同调与霍奇上同调及商空间上的微分形式联系起来。
• 推测相关复形在余维数一时是正合的，从而推出形式性，进而实现星表示的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在泊松流形上构造星积，使得在余辛子流形上消失的函数理想在形变代数中成为左理想？
• RQ2 塔马克林的形式性定理如何推广至与泊松结构相容的链复？
• RQ3 与余辛子流形相容的多微分算子空间具有何种结构？能否赋予其G∞-代数结构？
• RQ4 哪些上同调群控制此类形式性同构的障碍？
• RQ5 在余维数大于一时是否存在星表示的障碍？若存在，是否与辛 foliation 的特征类相关？

主要发现

• 建立了与余辛子流形相容的多重向量场空间与相容多微分算子空间之间的霍奇-科斯塔nt-罗森伯格同构。
• 相容多微分算子空间自然携带G∞-代数结构。
• 形式性障碍由特定链复的上同调所控制。
• 在X=ℝⁿ且C=ℝⁿ⁻¹的情况下，显式计算了障碍群并证明其消失。
• 本文推测相关链复在余维数一时是正合的，暗示可通过形式性定理的全局化实现星表示的存在性。
• 结果表明，可通过多尔古舍夫-费多索夫方法全局构造余维数为一的余辛子流形上的星表示。