[论文解读] Star-shaped Risk Measures

Erio Castagnoli, Giacomo Cattelan+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2021

Risk and Portfolio Optimization参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文引入并表征了星形风险度量——一种正齐次超齐次的货币风险度量，推广了既有的可加与凸风险度量。核心贡献在于表明星形性能够捕捉在流动性风险、竞争性委托以及鲁棒聚合下的关键风险管理行为，同时保持金融直觉，并涵盖几乎所有常用的度量方法，包括VaR与预期短缺（Expected Shortfall）。

ABSTRACT

In this paper monetary risk measures that are positively superhomogeneous, called star-shaped risk measures, are characterized and their properties studied. The measures in this class, which arise when the controversial subadditivity property of coherent risk measures is dispensed with and positive homogeneity is weakened, include all practically used risk measures, in particular, both convex risk measures and Value-at-Risk. From a financial viewpoint, our relaxation of convexity is necessary to quantify the capital requirements for risk exposure in the presence of liquidity risk, competitive delegation, or robust aggregation mechanisms. From a decision theoretical perspective, star-shaped risk measures emerge from variational preferences when risk mitigation strategies can be adopted by a rational decision maker.

研究动机与目标

• 形式化并研究满足正超齐次性的风险度量，称为‘星形’，作为一致风险度量中次可加性与正齐次性的松弛。
• 证明星形风险度量自然出现在涉及流动性风险、竞争性委托及鲁棒聚合机制的情境中。
• 建立星形风险度量与变分偏好之间的联系，表明其源于理性的风险缓解策略。
• 表明星形风险度量包含所有实际应用中的风险度量，如风险价值（VaR）与预期短缺（Expected Shortfall），且其一般性超过凸或一致度量。
• 通过风险价值与星形函数集的下确界卷积，提供星形风险度量的表示定理，确保其金融与数学上的自洽性。

提出的方法

• 通过条件 $\rho(\lambda X) \geq \lambda \rho(X)$（对所有 $\lambda > 1$）定义星形风险度量，体现缩小头寸可使风险减少超过比例的经济直觉。
• 利用星形集的几何性质，证明星形风险度量等价于接受集（即无需资本金要求的头寸集合）的星形性。
• 使用表示式 $\rho(X) = \inf_{g \in \mathcal{G}} \sup_{\alpha \in (0,1)} \{ \mathrm{VaR}_\alpha(X) - g(\alpha) \}$，其中 $\mathcal{G}$ 为星形函数集，以构造并表征星形风险度量。
• 证明任何在 $\mathcal{SSD}$-一致性下支配 $\mathrm{VaR}_\alpha$ 的、分布不变、单调且平移不变的风险度量，也必须支配 $\mathrm{ES}_\alpha$，从而建立支配性结果。
• 借助Liu, Wang, 和 Wei（2020）的下确界卷积技术，证明在适度条件下，星形风险度量的下确界卷积仍为有效的星形风险度量。
• 利用Jensen不等式与尾部事件构造，证明在 $\mathcal{SSD}$-一致性下有 $\rho \geq \mathrm{ES}_\alpha$，从而展示该框架的稳健性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何对风险度量进行推广，以更好地反映金融机构中流动性风险与集中度效应的影响？
• RQ2 在不假设次可加性的前提下，捕捉通过缩小头寸实现风险减少的经济直觉的最小公理集是什么？
• RQ3 在何种决策理论框架下，星形风险度量自然成为最优选择？
• RQ4 星形风险度量能否通过风险价值与星形函数集的下确界卷积来表示？其对监管资本计算有何含义？
• RQ5 在随机占优意义下，星形风险度量与现有度量（如VaR与预期短缺）在支配性与一致性方面有何关系？

主要发现

• 星形风险度量满足对所有 $\lambda > 1$ 有 $\rho(\lambda X) \geq \lambda \rho(X)$，体现经济直觉：缩小头寸可使风险减少超过比例。
• 星形风险度量的接受集为星形集，确保对可接受头寸的减仓不会使其变为不可接受。
• 所有凸风险度量与所有正齐次风险度量（包括VaR与预期短缺）均为星形风险度量的特例。
• 在 $\mathcal{SSD}$-一致性下，任何支配 $\mathrm{VaR}_\alpha$ 的风险度量也必须支配 $\mathrm{ES}_\alpha$，从而确立支配性结果，强化了预期短缺的作用。
• 当 $\mathcal{G}$ 为星形函数集时，表示式 $\rho(X) = \inf_{g \in \mathcal{G}} \sup_{\alpha \in (0,1)} \{ \mathrm{VaR}_\alpha(X) - g(\alpha) \}$ 成立，为星形风险度量提供构造性表征。
• 在底层函数集 $\mathcal{G}$ 为星形集的条件下，星形风险度量的下确界卷积仍为有效的星形风险度量，确保聚合过程中的结构保持不变。