[论文解读] Starshaped compact hypersurfaces with prescirbed Weingarten curvature in warped product manifolds

Daguang Chen, Haizhong Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 19被引用 4

一句话总结

本文建立了在度量为 $ dt^2 + h^2(t)g' $ 的 warped product 流形 $ \bar{M} = I \times_h M $ 中，具有预设 $ k $ 阶初等对称函数的 Weingarten 曲率 $ \rho_k(\nu) = \text{tr}(\text{sym}_k(\text{II})) $ 的严格凸紧致超曲面的全局 $ C^2 $ 估计与存在性结果。通过推广 Guan 等人 [28, 42] 的技术，本文在右端函数 $ \rho_k = \rho_k(\nu) $ 满足特定条件下，证明了 $ k=2 $ 和 $ k=n-1 $ 时的曲率估计与存在性，将欧氏空间中的结果推广至一般的 warped product 结构。

ABSTRACT

Given a compact Riemannian manifold $M$, we consider a warped product $\bar M = I imes_h M$ where $I$ is an open interval in $\Bbb R$. For a positive function $ψ$ defined on $\bar M$, we generalized the arguments in \cite{GRW2015} and \cite{RW16}, to obtain the curvature estimates for Hessian equations $σ_k(κ)=ψ(V,ν(V))$. We also obtain some existence results for the starshaped compact hypersurface $Σ$ satisfying the above equation with various assumptions.

研究动机与目标

• 将欧氏空间中预设 Weingarten 曲率问题的 $ C^2 $ 曲率估计与存在性定理，从欧氏空间推广至 warped product 流形。
• 在 warped product 空间 $ \bar{M} = I \times_h M $ 中，建立满足 $ \rho_k(\nu) = \text{tr}(\text{sym}_k(\text{II})) = \rho_k(V, \nu(V)) $ 的严格凸紧致超曲面的存在性。
• 将 [28] 和 [42] 中的测试函数与常秩定理技术推广至 warped product 流形的非欧几何设定。
• 验证在函数 $ \rho_k $ 满足单调性及与模型曲率比较的条件下，曲率估计成立。
• 通过构造从模型解到目标曲率方程的同伦，利用同调论证明存在性。

提出的方法

• 将 Guan 等人 [28] 的 $ C^2 $ 曲率估计框架推广至度量为 $ dt^2 + h^2(t)g' $ 的 warped product 流形 $ \bar{M} = I \times_h M $。
• 引入一种新的测试函数，结合 $ \rho_k $ 与法向量场 $ \nu $，并根据 warped 结构进行调整，以控制二阶导数。
• 以命题 7.1 的形式应用常秩定理，确保在同伦流中保持严格凸性。
• 采用同伦方法：定义 $ \rho_k^s = \big(s \rho_k^{-1/k} + (1-s)\bar{\rho}_k^{-1/k}\big)^{-k} $，其中 $ \bar{\rho}_k $ 为模型曲率函数。
• 对 $ \rho_k $ 施加条件：当 $ t \to t_- $ 时 $ \rho_k > C_n^k \rho_k^{\text{model}} $，当 $ t \to t_+ $ 时 $ \rho_k < C_n^k \rho_k^{\text{model}} $，且 $ \frac{d}{dt}(h^k \rho_k) \neq 0 $，以确保边界处行为得当。
• 依赖于环境空间的结构以及 $ h(t) $、$ h'(t) > 0 $ 和模型曲率 $ \rho_k^{\text{model}} = h'(t)/h(t) $ 的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将欧氏空间中预设 $ k $-曲率超曲面的 $ C^2 $ 曲率估计与存在性定理推广至 warped product 流形？
• RQ2 在 $ \bar{M} = I \times_h M $ 中，对曲率函数 $ \rho_k(V, \nu) $ 施加何种条件，可保证严格凸超曲面的全局 $ C^2 $ 估计与存在性？
• RQ3 如何将 [28] 中的测试函数与常秩定理技术适配至 warped product 流形的非常曲率设定？
• RQ4 在 $ h(t) $ 与 $ \rho_k $ 满足何种条件下，同伦方法可导出 $ \rho_k(\nu) = \rho_k(V, \nu(V)) $ 的解，且 $ \rho_k $ 满足单调性与比较条件？
• RQ5 在非空间形式的环境空间中，能否对一般 warped product 流形中的 $ k=2 $ 与 $ k=n-1 $ 成立存在性结果？

主要发现

• 在 $ h' > 0 $ 的条件下，对 warped product 流形 $ \bar{M} = I \times_h M $ 中的严格凸紧致超曲面，建立了全局 $ C^2 $ 估计，条件为 $ \rho_k $ 满足特定约束。
• 对于 $ k=2 $ 与 $ k=n-1 $，本文证明了存在唯一的 $ C^\nu $ 函数 $ z: M \to I $，使得图 $ \theta(u) = (z(u), u) $ 满足 $ \rho_k(\nu) = \rho_k(V, \nu(V)) $，且超曲面 $ \theta(M) $ 位于 $ \bar{M}_{-}^{+} $ 的内部。
• 存在性结果依赖于从模型解 $ \bar{\rho}_k $ 到目标 $ \rho_k $ 的同伦论证，其中 $ \rho_k $ 满足：当 $ t \to t_- $ 时 $ \rho_k > C_n^k \rho_k^{\text{model}} $，当 $ t \to t_+ $ 时 $ \rho_k < C_n^k \rho_k^{\text{model}} $，且 $ \frac{d}{dt}(h^k \rho_k) \neq 0 $。
• 曲率估计通过改进的测试函数与常秩定理推导得出，关键步骤为验证形如 $ (\bar{\rho}_k^{-1/k})_{,ij} + \bar{\rho}_k^{-1/k} \bar{g}_{ij} \rho_k $ 的不等式。
• 在单位球面情形下，当 $ \rho_k^{\text{model}} = \text{const} \times \frac{h'}{h} $ 时，条件 $ \rho_k^{-1/k} $ 被证明是凸的，且若 $ \rho_k $ 满足 $ \rho_k' < 0 $ 与 $ \rho_k \rho_k'' > \frac{k-1}{k} (\rho_k')^2 $，则所需不等式成立。
• 该方法对 $ k=2 $ 与 $ k=n-1 $ 具有鲁棒性，存在性结果在所述条件下可推广至一般 warped product 流形，但常秩定理在双曲空间中可能失效，除非能找到合适的初始族。