[论文解读] State Complexity and the Monoid of Transformations of a Finite Set

Bryan Krawetz, John Lawrence+1 more|ArXiv.org|Jun 29, 2003

semigroups and automata theory参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文研究了正则语言上根运算的状态复杂度，定义为 root(L) = {w | w^n ∈ L 对某个 n ≥ 1}。它建立了将大小为 n 的 DFA 转换为识别 root(L) 的 DFA 时状态复杂度膨胀的紧致上下界，表明当字母表大小 ≥3 时，最坏情况下的复杂度为 n^n − binom(n,2)，而对于较小的字母表则显著更低，利用有限集上变换幺半群的代数结构。

ABSTRACT

In this paper we consider the state complexity of an operation on formal languages, root(L). This naturally entails the discussion of the monoid of transformations of a finite set. We obtain good upper and lower bounds on the state complexity of root(L) over alphabets of all sizes.

研究动机与目标

• 确定正则语言上根运算的最坏情况状态复杂度，定义为 root(L) = {w | w^n ∈ L 对某个 n ≥ 1}。
• 分析有限集上变换幺半群的结构如何影响 root(L) 的状态复杂度。
• 为所有大小的字母表推导 root(L) 状态复杂度的紧致上下界，尤其区分单字母、双字母和更大字母表的情况。
• 使用幺半群理论技术，表征将 L 的最小 DFA 转换为 root(L) 的最小 DFA 时，状态复杂度的最大膨胀。

提出的方法

• 在状态集 Q 的所有变换的幺半群上构造一个新的 DFA A'，其状态为 Q^Q，以识别 root(L)。
• 通过 δ'(f,a) = f ∘ δ_a 定义 A' 上的转移函数，其中 δ_a 是符号 a 诱导的变换。
• 利用 δ'_q0(w) = δ_w 的事实，从而表征 w ∈ root(L) 当且仅当存在某个 n ≥ 1 使得 δ_w^n(q0) ∈ F。
• 应用变换幺半群的代数结果，特别是对互素 k ≥ 2，l ≥ 3 且 k + l = n 的两生成子幺半群 U_{k,l} 的结构。
• 使用对幺半群大小的组合界，特别是任何满足 |M| > n^n − binom(n,2) 的 M ⊆ T_n 必为全变换幺半群 T_n 的事实。
• 借助计算验证和已知结果（例如 Holzer 和 König 的结果）来证明当 n ≥ 7 时界的紧致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于有限字母表上的正则语言，根运算的最大状态复杂度膨胀是多少？
• RQ2 最小 DFA 的变换幺半群结构如何影响 root(L) 的状态复杂度？
• RQ3 能否为大小为 1、2 和 ≥3 的字母表建立 root(L) 状态复杂度的紧致上下界？
• RQ4 对于大小 ≥3 的字母表，n^n − binom(n,2) 的界是否紧致？何种幺半群结构可实现此最大值？
• RQ5 两生成子幺半群 U_{k,l} 在决定 root(L) 的最坏情况状态复杂度中起什么作用？

主要发现

• 对于大小 ≥3 的字母表，root(L) 的最坏情况状态复杂度为 n^n − binom(n,2)，且该界是紧致的。
• 当 L 的最小 DFA 的变换幺半群为全变换幺半群 T_n 时，root(L) 的状态复杂度恰好为 n^n − binom(n,2)。
• 对于双字母表，root(L) 的最大状态复杂度受 |U_{k,l}| − binom(n,2) 限制，其中 U_{k,l} 是满足互素 k ≥ 2，l ≥ 3，k + l = n 的 T_n 中最大的两生成子幺半群。
• 对于单字母语言，root(L) 的状态复杂度受原始状态复杂度的限制，即 sc(root(L)) ≤ sc(L)，且该界是紧致的。
• 对于任意 n ≥ 1，当字母表大小至少为 3 时，可通过使用生成集 X（大小为 min(n,3)）生成 T_n 的方式，构造出达到 n^n − binom(n,2) 界的语言。
• 对于 n ≥ 7，假设 U_{k,l} 是此类子幺半群中最大的，则 |U_{k,l}| − binom(n,2) 的界对双字母表是紧致的。