[论文解读] State complexity of multiple catenation

Pascal Caron, Jean-Gabriel Luque+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

semigroups and automata theory参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文通过使用Brzozowski的确定性有限自动机（DFAs）将多重连接的见证人字母表大小从$2\alpha - 1$减少到$\alpha + 1$，改进了多重连接的状态复杂度。它提出了一个用于计算上界递归公式，并提供了计算和分析证据支持一个猜想：$\alpha$-字母表可能已足够，且已验证$\alpha = 2$和$\alpha = 3$的情况。主要贡献在于显著减少了字母表大小，同时对状态复杂度界的影响极小。

ABSTRACT

We improve some results relative to the state complexity of the multiple catenation described by Gao and Yu. In particular we nearly divide by 2 the size of the alphabet needed for witnesses. We also give some refinements to the algebraic expression of the state complexity, which is especially complex with this operation. We obtain these results by using peculiar DFAs defined by Brzozowski.

研究动机与目标

• 减少正则语言多重连接中状态复杂度见证人所需的字母表大小。
• 提供一种用于计算$\alpha$个正则语言顺序连接的状态复杂度的递归公式。
• 验证Brzozowski DFA作为构造最小状态见证人的强大工具的有效性。
• 探究是否可使用$\alpha$-字母表实现$\alpha$-语言连接的最优字母表大小。

提出的方法

• 构建一个基于$\alpha + 1$-字母表的$\alpha$个DFA族，用作多重连接的见证人。
• 应用Brzozowski的从反向自动机生成最小DFA的方法，以生成状态最小的见证人。
• 通过递归状态转移分析，推导出$\alpha$重连接状态复杂度的可计算表达式。
• 通过区分词的详细状态等价性证明，验证所构造自动机的最小性。
• 引入一种基于组合分解的组合框架，以比先前代数公式更高效地表达状态复杂度界。
• 计算验证了$\alpha = 6$或$7$以内的猜想，并证明了$\alpha = 2$和$\alpha = 3$的情况。

实验结果

研究问题

• RQ1 多重连接见证人的字母表大小能否低于$2\alpha - 1$？
• RQ2 是否存在一个递归公式，可简化$\alpha$重连接状态复杂度的计算？
• RQ3 Brzozowski的DFA能否用于构造使用$\alpha$-字母表的多重连接最优见证人？
• RQ4 猜想：$\alpha$-字母表足以实现$\alpha$重连接，对所有$\alpha \geq 2$是否成立？
• RQ5 实现多重连接最大状态复杂度所需的最小字母表大小是多少？

主要发现

• 本文将多重连接见证人的字母表大小从$2\alpha - 1$减少到$\alpha + 1$，几乎使所需字母表大小减半。
• 提供了用于计算$\alpha$重连接状态复杂度的递归公式，实现了高效计算。
• 在$\alpha + 1$个字母上的所构造$\alpha$-DFA族被证明是最大状态复杂度的最小见证人。
• 对于$\alpha = 2$和$\alpha = 3$，作者证明了$\alpha$-字母表已足够，支持了最优性猜想。
• 状态复杂度界通过涉及组合分解的组合公式表达，为Gao和Yu的复杂代数表达式提供了更高效的替代方案。
• 通过区分词论证确认了所构造自动机的最小性，证明了所有状态两两非等价。