[论文解读] State Complexity of Testing Divisibility

Émilie Charlier, Narad Rampersad+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2010

semigroups and automata theory参考文献 16被引用 9

一句话总结

本文确定了在广义线性记数系统中，识别 $ m \geq 2 $ 的倍数的贪心表示的最小自动机的状态复杂度，特别证明了在斐波那契系统中，状态数恰好为 $ 2m^2 $。该方法结合了基于 $ \mathbb{N} $ 的自动机和估值的模算术的自动机理论构造，利用Pisot数和Bertrand系统的性质，在较宽松的假设下推导出精确的界。

ABSTRACT

Under some mild assumptions, we study the state complexity of the trim minimal automaton accepting the greedy representations of the multiples of m >= 2 for a wide class of linear numeration systems. As an example, the number of states of the trim minimal automaton accepting the greedy representations of the multiples of m in the Fibonacci system is exactly 2m^2.

研究动机与目标

• 确定识别广义线性记数系统中 $ m\mathbb{N} $ 的贪心表示的简化最小自动机的精确状态复杂度。
• 将有限自动机上可判定性条件的结论扩展到非标准记数系统。
• 提供一个通用框架，利用模算术和自动机积构造计算此类自动机的状态数。
• 为任意记数系统建立状态复杂度的下界。
• 探讨自动机复杂度与扩展Presburger算术中一阶可定义性之间的联系。

提出的方法

• 将 $ 0^*\operatorname{rep}_U(m\mathbb{N}) $ 的最小自动机 $ \mathcal{A}_{U,m} $ 构造为 $ \mathcal{A}_U $（用于 $ \mathbb{N} $）与基于模的自动机的积，后者用于跟踪 $ \operatorname{val}_U(w) \bmod m $。
• 利用 $ \mathcal{A}_{U,m} $ 中的状态为 $ (k+1) $ 元组 $ (q, v_0, \dots, v_{k-1}) $ 的事实，其中 $ q $ 是 $ \mathcal{A}_U $ 中的状态，且 $ v_i = \operatorname{val}_U(w0^i) \bmod m $。
• 利用 $ (U_n \bmod m) $ 的周期性来界定辅助自动机的状态数，然后与 $ \mathcal{A}_U $ 进行最小化交集。
• 通过命题17直接构造 $ \mathcal{A}_{U,m} $，通过同时跟踪自动机状态和模估值来实现。
• 使用单词的反转（最低位在前）来简化模转移结构，并支持周期性分析。
• 应用Pisot和Bertrand记数系统的结论，以确保自动机构造满足必要条件（例如强连通性、简化最小性）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在满足主导根条件的线性记数系统中，识别 $ m\mathbb{N} $ 的贪心表示的最小自动机的状态数精确是多少？
• RQ2 能否精确计算斐波那契记数系统中“可被 $ m $ 整除”状态复杂度？
• RQ3 $ 0^*\operatorname{rep}_U(m\mathbb{N}) $ 的状态复杂度如何与序列 $ (U_n \bmod m) $ 的周期相关？
• RQ4 能否为任意记数系统建立状态复杂度的下界？
• RQ5 在何种条件下，$ \mathcal{A}_{U,m} $ 的构造可以实现自动化或推广到非线性系统？

主要发现

• 在斐波那契记数系统中，识别 $ 0^*\operatorname{rep}_F(m\mathbb{N}) $ 的简化最小自动机的状态数恰好为 $ 2m^2 $，如推论19所示。
• 在记数系统 $ U $ 的温和假设下，$ \mathcal{A}_{U,m} $ 的状态复杂度受 $ m $ 乘以 $ (U_n \bmod m) $ 的周期长度的限制，如定理14所形式化。
• $ \mathcal{A}_{U,m} $ 的状态数的下界为 $ |\operatorname{rep}_U(m)| $，即 $ m $ 的贪心表示的长度，如命题23所确立。
• $ \mathcal{A}_{U,m} $ 的构造可通过 $ \mathcal{A}_U $ 和模估值自动机的积构造完全自动化，如命题17所实现。
• 对于与Parr numbers相关的Bertrand记数系统，自动机 $ \mathcal{A}_U $ 满足所需条件（H.1）和（H.2），从而可直接应用定理14。
• 该方法适用于特征多项式为Pisot数的最小多项式的系统，从而在这些情况下实现对状态复杂度的统一处理。