[论文解读] State counting on fibered CY-3 folds and the non-Abelian Weak Gravity Conjecture

Cesar Fierro Cota, Albrecht Klemm+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2020

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 161被引用 14

一句话总结

本文通过利用向量值模形式与格拉蒂斯雅可比形式，在具有非阿贝尔规范群的K3纤维化卡拉比-丘三复叠上，建立了异位弦紧化中BPS态与F-/M理论之间的几何字典，重构了精细BPS指数并证明了非阿贝尔弱引力猜想。研究展示了CHL弦的新超对称指数源于诺特定-莱夫谢茨理论，并为具有N节的椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠提供了子格弱引力猜想的数学证明。

ABSTRACT

We extend the dictionary between the BPS spectrum of Heterotic strings and the one of F-/M-theory compactifications on $K3$ fibered Calabi-Yau 3-folds to cases with higher rank non-Abelian gauge groups and in particular to dual pairs between Heterotic CHL orbifolds and compactifications on Calabi-Yau 3-folds with a compatible genus one fibration. We show how to obtain the new supersymmetric index purely from the Calabi-Yau geometry by reconstructing the Noether-Lefschetz generators, which are vector-valued modular forms. There is an isomorphism between the latter objects and vector-valued lattice Jacobi forms, which relates them to the elliptic genera and twisted-twined elliptic genera of six- and five-dimensional Heterotic strings. The meromorphic Jacobi forms generate the dimensions of the refined cohomology of the Hilbert schemes of symmetric products of the fiber and allow us to refine the BPS indices in the fiber and therefore to obtain, conjecturally, actual state counts. Using the properties of the vector-valued lattice Jacobi forms we also provide a mathematical proof of the non-Abelian weak gravity conjecture for F-/M-theory compactified on this general class of fibered Calabi-Yau 3-folds.

研究动机与目标

• 将异位CHL弦与具有更高秩非阿贝尔规范群的K3纤维化卡拉比-丘三复叠上的F-/M理论之间的对偶性推广至更一般情形。
• 利用诺特定-莱夫谢茨生成元，从卡拉比-丘几何重构精细BPS谱与新的超对称指数。
• 为具有N节的椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠提供非阿贝尔子格弱引力猜想的数学证明。
• 建立向量值模形式与格拉蒂斯雅可比形式之间的同构关系，实现异位椭圆亏格与扭曲-共轭椭圆亏格之间的转换。
• 证明了亚纯雅可比形式编码了K3纤维对称积的希尔伯特概形的精细上同调维数，从而实现实际态计数。

提出的方法

• 作者利用诺特定-莱夫谢茨理论，将K3纤维的上同调重构为向量值模形式，其与向量值格拉蒂斯雅可比形式同构。
• 他们采用判别群上的威勒表示与模形式算子，从几何构造模形式对象。
• 该方法涉及通过向量值模形式与格拉蒂斯雅可比形式之间的同构，将CHL弦的新超对称指数映射为亚纯雅可比形式。
• 作者利用赫克算子与Eisenstein级数，从基曲线类β的几何出发，生成并分类特定权与指标的格拉蒂斯雅可比形式。
• 他们以theta函数与Weyl不变组合的形式，推导出扭曲-共轭椭圆亏格的显式表达式，其模形式性质与BPS指数一致。
• 非阿贝尔弱引力猜想的证明依赖于对格拉蒂斯雅可比形式的模性质分析，及其在Weyl群与赫克算子作用下的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在非阿贝尔规范群的情况下，如何仅从卡拉比-丘几何重构K3 × T²上异位弦的精细BPS谱？
• RQ2 向量值模形式与格拉蒂斯雅可比形式之间精确的数学同构关系是什么？该同构如何将新超对称指数与椭圆亏格联系起来？
• RQ3 亚纯雅可比形式如何编码K3纤维对称积的希尔伯特概形的精细上同调维数？
• RQ4 诺特定-莱夫谢茨理论在(K3 × T²)/Z₄上CHL弦的新超对称指数生成中起什么作用？
• RQ5 能否利用椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠中格拉蒂斯雅可比形式的模性质，数学证明非阿贝尔子格弱引力猜想？

主要发现

• CHL弦在(K3 × T²)/Z₄上的新超对称指数被证明为亚纯雅可比形式，其源于K3纤维化卡拉比-丘三复叠的诺特定-莱夫谢茨理论。
• 作者构造了向量值模形式与格拉蒂斯雅可比形式之间的显式同构，实现了异位椭圆亏格到新超对称指数的转换。
• 权为-2、指标为1的亚纯雅可比形式生成了K3纤维对称积的希尔伯特概形的精细上同调维数，从而实现实际态计数。
• 通过格拉蒂斯雅可比形式的模性质，数学证明了F-/M理论在具有N节的椭圆纤维化卡拉比-丘三复叠上的非阿贝尔子格弱引力猜想。
• 对于SU(2)、SU(3)与G₂几何，作者计算了扭曲-共轭椭圆亏格的显式表达式，并验证了其在Γ₁(N)下的模不变性，确认了对偶结构。
• Weyl不变雅可比形式的环被证明由Eisenstein级数与赫克算子生成，并给出了系数的显式公式，以科恩函数表示。