[论文解读] State retrieval beyond Bayes' retrodiction

Jacopo Surace, Matteo Scandi|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2022

Quantum Mechanics and Applications被引用 4

一句话总结

本文提出了一种通用框架，通过引入满足物理原理的状态恢复映射，实现不可逆动力学中的最优状态检索，其性能优于贝叶斯反演和佩茨恢复映射。该框架通过最大化原理推导出最优恢复映射，在经典与量子领域均表现出更优性能，数值证据表明，加入对合性条件后，贝叶斯启发的反向映射成为唯一解。

ABSTRACT

In the context of irreversible dynamics, associating to a physical process its intuitive reverse can result to be a quite ambiguous task. It is a standard choice to define the reverse process using Bayes' theorem, but, in general, this choice is not optimal. In this work we explore whether it is possible to characterise an optimal reverse map building from the concept of state retrieval maps. In doing so, we propose a set of principles that state retrieval maps should satisfy. We find out that the Bayes inspired reverse is just one case in a whole class of possible choices, which can be optimised to give a map retrieving the initial state more precisely than the Bayes rule. Our analysis has the advantage of naturally extending to the quantum regime. In fact, we find a class of reverse transformations containing the Petz recovery map as a particular case, corroborating its interpretation as quantum analogue of the Bayes retrieval. Finally, we present numerical evidences that by adding a single extra axiom one can isolate the usual reverse process derived from Bayes' theorem.

研究动机与目标

• 解决在标准逆运算失效时，不可逆动力学中反向映射定义的任意性问题。
• 构建一个基于物理动机的状态恢复框架，以推广贝叶斯定理与佩茨恢复映射。
• 通过系统化的最大化方法，识别最小化恢复误差的最优恢复映射。
• 探究是否可通过添加额外物理原理（如对合性）唯一恢复贝叶斯启发的反向映射。
• 自然地将该框架扩展至量子领域，将佩茨映射解释为该框架中的特例。

提出的方法

• 将状态恢复映射定义为能完美恢复基准态 π 且相对于 π 满足细致平衡的物理变换。
• 提出五条物理期望条件：(1) 物理性，(2) 在可逆映射上与逆映射一致，(3) 对 π 的完美恢复，(4) Φ̃Φ 相对于 π 的细致平衡，(5) Φ̃Φ 的正特征值。
• 在满足上述五条原则的映射空间上施加最大化原理，以识别最优恢复映射。
• 以参数化映射族的形式推导出最优恢复映射，其中贝叶斯规则与佩茨映射分别对应参数空间中的单位元。
• 通过数值模拟比较最优映射与贝叶斯及佩茨映射的恢复性能，结果一致显示性能提升。
• 研究在加入对合性条件（反向的反向即为原映射）后，是否唯一恢复贝叶斯启发的反向，数值证据支持该结论。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个系统化、基于物理动机的状态恢复框架，以推广贝叶斯反演与佩茨恢复映射？
• RQ2 在物理有效恢复映射空间上施加最大化原理，是否能获得在状态恢复精度上优于贝叶斯规则与佩茨映射的映射？
• RQ3 当额外施加“反向的反向即为原映射”这一原理时，贝叶斯启发的反向是否为唯一解？
• RQ4 所提出的框架如何自然地扩展至量子领域？佩茨映射在该框架中的角色是什么？
• RQ5 能否利用几何与代数工具（如集合 U(Φπ, π) 的顶点）完全表征状态恢复映射集合？

主要发现

• 通过在物理有效映射空间上施加最大化原理推导出的最优恢复映射，在平均值与单个状态上均持续优于贝叶斯启发的反向与佩茨恢复映射，表现出更高的状态恢复精度。
• 当额外施加对合性原理时，数值结果表明可唯一恢复贝叶斯启发的反向映射，暗示该条件可能唯一刻画该映射。
• 证明了佩茨恢复映射是所提出状态恢复映射类的一个特例，进一步支持其作为贝叶斯反演的量子类比的解释。
• 该框架可自然扩展至量子领域，相同最大化原理导出的量子恢复映射在测试案例中优于佩茨映射。
• 数值证据表明，唯一同时满足对合性条件与五条物理原则的映射是贝叶斯启发的反向映射，尽管其解析证明仍待解决。
• 可接受的恢复映射集合受 U(Φπ, π) 的几何结构约束，且在测试案例中仅单位元映射满足正定性条件，表明在完整原则集下具有极强的唯一性。