[论文解读] State-Space Controller Design for the Fractional-Order Regulated System

Ľ. Dorčák, Ivo Petráš+2 more|ArXiv.org|Apr 15, 2002

Advanced Control Systems Design参考文献 6被引用 39

一句话总结

本文提出了一种基于复平面上极点配置的分数阶调节系统状态空间控制器设计方法。该方法为带有 $PD^\delta$ 和 $PI^\lambda$ 控制器的分数阶系统构建了状态空间模型，推导出特征方程，并通过非线性方程的数值求解实现控制器参数合成，实现了具有指定性能指标（如稳态误差 <4%）的稳定闭环响应。

ABSTRACT

In this paper we will present a mathematical description and analysis of a fractional-order regulated system in the state space and the state-space controller design based on placing the closed-loop poles on the complex plane. Presented are the results of simulations and stability investigation of this system.

研究动机与目标

• 为具有多个分数阶导数的分数阶调节系统建立数学状态空间表示。
• 通过复平面上闭环极点配置设计 $PD^\delta$ 和 $PI^\lambda$ 控制器。
• 确保系统稳定性并满足如稳态误差 <4% 等性能指标。
• 提供一种通过求解非线性特征方程来计算控制器参数的数值框架。

提出的方法

• 在状态方程中使用分数阶导数构建状态空间模型，其中 $\dot{x}_1 = x_2$，$\dot{x}_2$ 通过 $x_1$ 和 $x_2$ 的分数阶导数表示。
• 采用格伦沃尔德-莱特尼科夫逼近法处理分数阶导数，利用递归二项式系数 $b_j = (1 - \frac{1+\alpha}{j})b_{j-1}$。
• 通过拉普拉斯变换推导状态空间模型在 $s$-平面上的等效形式，得到矩阵方程 $p\mathbf{X}(s) = \mathbf{A}(s)\mathbf{X}(s) + \mathbf{B}(s)W(s)$。
• 建立闭环系统的特征方程：$a_2s^{\alpha+\lambda} + a_1s^{\beta+\lambda} + (a_0+K)s^{\lambda} + T_i = 0$（针对 $PI^\lambda$），$PD^\delta$ 的形式类似。
• 通过求解由期望极点 $s_{1,2} = -1 \pm 6i$ 导出的非线性方程组，计算控制器参数 $K$、$T_d$、$\delta$、$T_i$、$\lambda$。
• 通过欧拉法对状态空间模型进行离散化，对单位阶跃响应和状态轨迹进行数值仿真以验证结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有多个分数阶导数的分数阶调节系统建立状态空间形式的建模方法？
• RQ2 如何通过在复平面上配置期望闭环极点来设计 $PD^\delta$ 控制器？
• RQ3 控制器参数 $K$、$T_d$ 和 $\delta$ 如何影响系统稳定性与性能，特别是在 $\delta < 0$ 的情况下？
• RQ4 能否通过极点配置设计 $PI^\lambda$ 控制器？其特征方程与 $PD^\delta$ 的特征方程有何不同？
• RQ5 负值 $\delta$ 或 $\lambda$ 对系统阶次与稳定性有何影响？

主要发现

• 对于参数 $a_2=0.8$、$a_1=0.5$、$a_0=1$、$\alpha=2.2$、$\beta=0.9$ 的系统，控制器参数 $K=24$、$T_d=6.9407$、$\delta=0.71859$ 可实现期望极点 $s_{1,2} = -1 \pm 6i$，且稳态误差 <4%。
• 采用 $PD^\delta$ 控制器设计可使状态轨迹呈现稳定焦点，仿真结果验证了单位阶跃响应与状态演化过程的稳定性。
• 若采用整数阶 $PD$ 控制器实现相同性能，需参数 $K=36.0854$、$T_d=4.0141$，但分数阶设计在调节灵活性方面更具优势。
• 当要求更严格的稳态误差 <2% 时，得到 $K=49$、$T_d=-79.74427$、$\delta=-0.55194$，此时系统引入一个不稳定极点 $s_3=1.98$，导致系统不稳定。
• $PI^\lambda$ 控制器设计需求解由特征方程 $a_2s^{\alpha+\lambda} + a_1s^{\beta+\lambda} + (a_0+K)s^{\lambda} + T_i = 0$ 导出的三元非线性方程组，以确定 $K$、$T_i$ 和 $\lambda$。
• 稳定性分析表明，负的 $\delta$ 值会提高系统阶次，并可能引入虚假极点，存在导致不稳定的风险，因此需谨慎设计控制器。