[论文解读] Static spherically symmetric Einstein-Vlasov bifurcations of the Schwarzschild spacetime

Fatima Ezzahra Jabiri|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2020

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 40被引用 10

一句话总结

本文构建了一个一参量族的静态、球对称解，该解为爱因斯坦-维拉索夫系统的解，从史瓦西时空分岔而来，其特征是在黑洞视界之外存在一个有限的、球对称的物质壳层。该方法依赖于分析接近史瓦西时空的时空中的束缚类时测地线和有效势能，利用隐函数定理证明在外部区域存在具有紧支撑的维拉索夫物质的解。

ABSTRACT

We construct a one-parameter family of static and spherically symmetric solutions to the Einstein-Vlasov system bifurcating from the Schwarzschild spacetime. The constructed solutions have the property that the spatial support of the matter is a finite, spherically symmetric shell located away from the black hole. Our proof is mostly based on the analysis of the set of trapped timelike geodesics and of the effective potential energy for static spacetimes close to Schwarzschild. This provides an alternative approach to the construction of static solutions to the Einstein-Vlasov system in a neighbourhood of black hole vacuum spacetimes.

研究动机与目标

• 构建爱因斯坦-维拉索夫系统的新静态、球对称解，这些解是史瓦西时空的微扰。
• 证明存在物质被限制在黑洞视界之外的有限、球对称壳层中的解。
• 通过分析类时测地线和有效势能，提供一种在黑洞时空附近分岔解的替代方法。
• 在标准假设（球对称性和中心正则性）之外，扩展对相对论性动理学理论中平衡构型的理解。

提出的方法

• 分析从静态、球对称时空的度规假设出发，利用碰撞无关物质的维拉索夫方程推导出约化爱因斯坦-维拉索夫系统。
• 假设分布函数仅依赖于能量和角动量，采用多级态假设，且在相空间中具有紧支撑。
• 分析类时测地线的有效势能，根据能量和角动量参数对轨道类型（圆形、束缚、无界、被吸收）进行分类。
• 在适当的函数空间中应用隐函数定理求解约化系统，参数空间由物质壳层的径向边界定义。
• 通过验证在史瓦西解邻域内相关算子的弗雷chet可微性与可逆性，确立解的存在性。
• 从有效势能方程的根中推导出临界参数 $\ell_{ub}(E)$ 和 $\ell_{lb}(E)$，以定义不同轨道行为的区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造出从史瓦西时空分岔而来、且物质位于事件视界之外的静态、球对称爱因斯坦-维拉索夫系统解？
• RQ2 在史瓦西几何中，能量和角动量的何种条件会导致测地线轨迹为束缚、无界或被吸收？
• RQ3 如何将隐函数定理应用于约化爱因斯坦-维拉索夫系统，以证明此类解的存在性？
• RQ4 有效势能在分类与构造物质壳层相关的粒子轨道类型中起什么作用？
• RQ5 是否存在具有紧支撑维拉索夫物质、在中心处正则且渐近平坦，但又避免中心奇点的解？

主要发现

• 构建了一个一参量族的静态、球对称爱因斯坦-维拉索夫系统解，这些解从史瓦西时空分岔而来。
• 这些解中的物质被限制在黑洞外部区域的有限、球对称壳层中，远离视界。
• 该构造依赖于在约化系统上应用隐函数定理，参数空间由物质壳层的径向边界定义。
• 测地线轨道的分类——圆形、束缚、无界或被吸收——取决于能量 $E$ 和角动量 $\ell$ 的取值，其中不同的区域 $\mathcal{A}_{circ}$、$\mathcal{A}_{bound}$、$\mathcal{A}_{unbound}$ 和 $\mathcal{A}_{abs}$ 由有效势能方程的根定义。
• 临界值 $\ell_{ub}(E)$ 和 $\ell_{lb}(E)$ 显式地推导为关于 $X = \sqrt{(\ell - 12M^2)/\ell}$ 的二次方程的解，确定了束缚与无界轨道的边界。
• 分析确认，当 $E^2 < 1$ 且 $\ell \in (\ell_{lb}(E), \ell_{ub}(E))$ 时，存在三个正实根，对应于在两个半径之间被束缚的轨道；而当 $E^2 \geq 1$ 时，仅存在两个根，对应于无界或逃逸轨迹。