[论文解读] Stationary and discontinuous weak solutions of the Navier-Stokes equations

Alexey Cheskidov, Xiaoyutao Luo|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2019

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用 13

一句话总结

该论文通过一种新颖的凸积分方法，结合专门设计的静止型构建块，证明了三维纳维-斯托克斯方程存在非平凡的有限能量周期性静止弱解。此外，还证明了在正勒贝格测度的稠密集上能量分布不连续的弱解的存在性。

ABSTRACT

We prove that there exists a nontrivial finite energy periodic stationary weak solution to the 3D Navier-Stokes equations (NSE). The construction relies on a convex integration scheme utilizing new stationary building blocks designed specifically for the NSE. The constructed family of approximate stationary solutions is also used to prove the existence of weak solutions of the NSE with energy profiles discontinuous on a dense set of positive Lebesgue measure.

研究动机与目标

• 证明三维纳维-斯托克斯方程存在非平凡的有限能量周期性静止弱解。
• 开发一种专用于静止解的凸积分框架，使用专为纳维-斯托克斯方程设计的新构建块。
• 将构造的近似解推广，以证明在正勒贝格测度的稠密集上能量分布不连续的弱解的存在性。
• 解决三维流体动力学中弱解正则性与结构方面长期存在的开放性问题。

提出的方法

• 采用适配于静止解的凸积分方案，利用专为满足纳维-斯托克斯方程近似意义而设计的新静止型构建块。
• 构造一族收敛于能量空间中弱解的近似静止解。
• 利用构建块的静止特性，确保所得解保持周期边界条件与有限能量。
• 将近似解应用于生成能量分布不连续于正勒贝格测度的稠密集上的弱解。
• 确保构造过程保持无散度条件，并尊重纳维-斯托克斯方程的非线性结构。
• 利用能量分布不连续性的测度论性质，证明其在时间域中的普遍性。

实验结果

研究问题

• RQ1 三维纳维-斯托克斯方程是否存在非平凡的有限能量周期性静止弱解？
• RQ2 凸积分方法能否被调整以利用专门设计的构建块构造静止解？
• RQ3 是否存在能量分布不连续于正勒贝格测度的稠密集上的纳维-斯托克斯方程弱解？
• RQ4 当通过凸积分强制引入能量不连续性时，弱解中会涌现出何种结构性质？

主要发现

• 三维纳维-斯托克斯方程存在非平凡的有限能量周期性静止弱解。
• 该解通过专为纳维-斯托克斯方程设计的新静止型构建块的凸积分方案构造而成。
• 近似静止解族使得在正勒贝格测度的稠密集上能量分布不连续的弱解得以构造。
• 能量分布的不连续性被证明发生于正勒贝格测度的集合上，表明能量演化缺乏正则性。
• 该方法保持了无散度条件与有限能量，确保了构造解的物理一致性。
• 结果表明存在具有高度不规则能量行为的弱解，挑战了经典正则性预期。