[论文解读] Stationary and time periodic patterns of two-predator and one-prey systems with prey-taxis

Ke Wang, Qi Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2015

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 46被引用 4

一句话总结

本文研究了包含两个捕食者和一个猎物的三营养级捕食者-猎物系统中的模式形成问题，引入了猎物趋化性——捕食者对高猎物密度区域的定向运动。研究建立了全局解的存在性与有界性，表明猎物趋化性在群体防御存在与否的条件下可导致平衡点的稳定或不稳定，并通过分支分析证明了非平凡静止态与周期性模式的存在性，稳定性分析揭示了一种波模式选择机制。

ABSTRACT

This paper concerns pattern formation in a class of reaction-advection-diffusion systems modeling the population dynamics of two predators and one prey. We consider the biological situation that both predators forage along the population density gradient of the preys which can defend themselves as a group. We prove the global existence and uniform boundedness of positive classical solutions for the fully parabolic system over a bounded domain with space dimension $N=1,2$ and for the parabolic- -parabolic-elliptic system over higher space dimensions. Linearized stability analysis shows that prey-taxis stabilizes the positive constant equilibrium if there is no group defense while it destabilizes the equilibrium otherwise. Then we obtain stationary and time-periodic nontrivial solutions of the system that bifurcate from the positive constant equilibrium. Moreover, the stability of these solutions is also analyzed in detail which provides a wave mode selection mechanism of nontrivial patterns for this strongly coupled system. Finally, we perform numerical simulations to illustrate and support our theoretical results.

研究动机与目标

• 理解猎物趋化性如何影响双捕食者一猎物生态系统中的空间模式形成。
• 研究猎物群体防御对猎物趋化性下捕食者-猎物平衡点稳定性的影响。
• 建立从正常常数平衡点分岔出的非平凡静止态与周期性解的存在性。
• 分析这些非平凡模式的稳定性，并在强耦合系统中识别一种波模式选择机制。
• 通过反应-对流-扩散系统的数值模拟验证理论结果。

提出的方法

• 构建了一个完全抛物型的3×3反应-对流-扩散系统，用于建模具有Lotka–Volterra动力学和猎物趋化性的双捕食者一猎物系统。
• 围绕正常常数平衡点进行线性化稳定性分析，以确定猎物趋化性在存在或不存在群体防御时是否稳定或破坏该平衡点。
• 应用中心流形与Lyapunov–Schmidt约化技术，借助分支理论证明非平凡静止态与周期性解的存在性。
• 利用傅里叶展开推导分岔解的显式表达式，并求解涉及系数矩阵行列式的相关矩阵系统。
• 进行数值模拟以说明并支持关于模式形成与稳定性的理论结果。
• 采用多尺度方法分析分岔解的稳定性，并通过评估展开式中的二阶项来确定波模式选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 在双捕食者一猎物系统中，猎物趋化性如何影响正常常数平衡点的稳定性？
• RQ2 在何种条件下，猎物趋化性会引发非平凡静止态或周期性模式的出现？
• RQ3 猎物的群体防御如何影响猎物趋化性在模式形成与平衡点稳定性中的作用？
• RQ4 在出现的非平凡模式中，波模式选择的机制是什么？
• RQ5 在该系统中，全局解存在性与经典解一致有界性的条件是什么？

主要发现

• 在空间维数 N = 1, 2 的完全抛物型系统中，以及高维下的抛物-抛物-椭圆系统中，证明了正经典解的全局存在性与一致有界性。
• 当猎物无群体防御时，猎物趋化性稳定正常常数平衡点；但当猎物表现出群体防御时，猎物趋化性则导致其不稳定。
• 在适当的参数条件下，非平凡静止态与周期性解可从正常常数平衡点分岔产生。
• 对这些分岔解的稳定性进行了详细分析，揭示了基于分岔展开中二阶项的波模式选择机制。
• 数值模拟验证了理论预测，显示捕食者聚集于高猎物密度区域，并出现复杂的时空模式。
• 通过傅里叶展开与分部积分法，利用系数矩阵的行列式推导出分岔解振幅的显式表达式。