[论文解读] Stationary Mean-Field singular control of an Ornstein-Uhlenbeck process

Federico Cannerozzi|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2026

Stochastic processes and financial applications被引用 0

一句话总结

本论文研究了一个受均值回归Ornstein-Uhlenbeck过程驱动、带奇异控制的平稳均场控制问题，并将最优控制与势型平稳均场博弈的均衡联系起来，给出明确解。

ABSTRACT

Motivated by continuous-time optimal inventory management, we study a class of stationary mean-field control problems with singular controls. The dynamics are modeled by a mean-reverting Ornstein-Uhlenbeck process, and the performance criterion is given by a quadratic long-time average expected cost functional. The mean-field dependence is through the stationary mean of the controlled process itself, which enters the ergodic cost functional. We characterize the solution to the stationary mean-field control problem in terms of the equilibria of an associated stationary mean-field game, showing that solutions of the control problem are in bijection with the equilibria of this mean-field game. Finally, we solve the stationary mean-field game explicitly, thereby providing a solution to the original stationary mean-field control problem.

研究动机与目标

• 通过连续时间最优库存管理的情景来激励问题并用奇异受控 OU 过程建模状态。
• 最小化依赖于状态、其平稳均值及控制动作的长期 ergodic 成本。
• 通过势型平稳均场博弈的均衡刻画最优控制，并建立 MFC 解与 MFG 均衡之间的一一对应。
• 给出势型平稳 MFG 的显式解，从而得到原始的平稳 MFC 问题的解。
• 说明参数如均值回归速度、波动性及相互作用强度如何影响解。

提出的方法

• 引入一个两步优化框架，使用带有平稳均值的约束问题及拉格朗日乘子，将其与一族平稳均场博弈（MFGs）联系起来。
• 定义一个成本泛函依赖于两个相互作用项的势型平稳 MFG；并证明当且仅当存在该 MFG 的均衡时，存在相应的平稳 MFC 问题解。
• 通过 Dynkin 博弈的联系求解无约束问题，得到一个屏障型最优控制，使过程保持在两个确定性阈值之间。
• 建立满足一致性条件的平稳均值，以将 MFG 均衡与 MFC 最优解相联系。
• 证明势型平稳 MFG 的解存在，因此势型平稳 MFG 的解存在，从而势型平稳 MFC 问题的解也存在，并给出最优屏障对相互作用参数的 Lipschitz 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当状态是均值回归的 OU 过程且成本为 ergodic 的二次成本时，最优奇异控制的形式为何？
• RQ2 如何通过势型平稳均场博弈的均衡来刻画平稳均场控制问题？
• RQ3 在何种条件下势型平稳 MFG 能给出原始平稳 MFC 问题的解？
• RQ4 在这一设定下，最优策略（屏障型）的结构与正则性是如何？
• RQ5 模型参数（均值回归速度、波动性和相互作用项）如何影响最优策略与均衡？

主要发现

• 最优策略具有屏障型，将受控过程维持在两个确定性阈值之间。
• 存在势型平稳 MFG 的解，从而得到平稳 MFC 问题的解。
• 两步优化结合拉格朗日乘子将带约束的均值约束与一族带一致性条件的平稳 MFG 联系起来。
• 阈值对相互作用参数是 Lipschitz 的，给出了关于平稳均值的双 Lipschitz 依赖的显式界限。
• 通过势型平稳 MFG 确立了一个必要的最优性条件，对应的充要条件提供了一个验证途径。