[论文解读] Stationary measures and orbit closures of uniformly expanding random dynamical systems on surfaces

Ping Ngai Chung|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2020

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 15被引用 7

一句话总结

该论文在满足有限可验证平均增长条件的前提下，建立了曲面上均匀扩张随机动力系统下的测度刚性与轨道闭包分类。证明了在此条件下，唯一的非退化平稳测度即为给定的光滑不变测度，且每个轨道要么是有限的，要么是稠密的，无限轨道相对于光滑测度等分布——将齐性空间与模形式空间设定下的结果推广至光滑动力系统领域。

ABSTRACT

We study the problem of classifying stationary measures and orbit closures for non-abelian action on a surface with a given smooth invariant measure. Using a result of Brown and Rodriguez Hertz, we show that under a certain finite verifiable average growth condition, the only nonatomic stationary measure is the given smooth invariant measure, and every orbit closure is either finite or dense. Moreover, every point with infinite orbit equidistributes on the surface with respect to the smooth invariant measure. This is analogous to the results of Benoist-Quint and Eskin-Lindenstrauss in the homogeneous setting, and the result of Eskin-Mirzakhani in the setting of moduli spaces of translation surfaces. We then apply this result to two concrete settings, namely discrete perturbation of the standard map and Out($F_2$)-action on a certain character variety. We verify the growth condition analytically in the former setting, and verify numerically in the latter setting.

研究动机与目标

• 对具有光滑不变测度的非交换作用在曲面上的平稳测度与轨道闭包进行分类。
• 建立唯一非退化平稳测度为给定光滑不变测度的条件。
• 在有限可验证平均增长条件下，证明每个轨道闭包要么是有限的，要么是稠密的。
• 将齐性动力系统与模形式空间中的结果推广至曲面上光滑动力系统的设定。
• 在标准映射的离散扰动情形下，通过解析方法验证增长条件；在 $ \mathrm{Out}(F_2) $-作用于特征簇 $ \mathrm{Hom}(F_2,\mathrm{SU}(2))//\mathrm{SU}(2) $ 的情形下，通过数值方法验证增长条件。

提出的方法

• 利用 Brown 与 Rodriguez Hertz 的结果，将平均增长条件与测度刚性及轨道闭包结构联系起来。
• 应用一致扩张条件（UE），通过曲面上的局部坐标与正交基控制系统中映射的导数增长。
• 通过坐标 $ x, y, z $ 的有理函数显式给出导数对数范数的 $ C^2 $ 与 $ C^1 $ 导数界。
• 利用数值计算在网格上验证一致扩张性，参数为 $ r = 0.0001 $，$ \rho = 0.0001 $，$ C = 0.25 $，并通过导数界确保全局有效性。
• 使用程序 1 计算二阶导数并界定 $ C_M $、$ C_\theta $；使用程序 2 在网格上测试一致扩张条件（UE）。
• 在高性能计算集群（Midway，28 核心，64 GB 内存）上运行计算，以验证标准映射与特征簇设定下的增长条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，均匀扩张随机动力系统在曲面上的唯一非退化平稳测度为给定的光滑不变测度？
• RQ2 在何种条件下，此类系统中每个轨道闭包要么是有限的，要么是稠密的？
• RQ3 能否在具体动力系统中通过解析或数值方法验证一致扩张条件？
• RQ4 光滑动力系统中的测度刚性与齐性空间及模形式空间中的结果相比如何？
• RQ5 在平稳测度下，具有无限轨道的点的等分布行为如何？

主要发现

• 在有限可验证平均增长条件下，唯一的非退化平稳测度即为给定的光滑不变测度。
• 每个轨道闭包要么是有限的，要么是稠密的，且每个具有无限轨道的点相对于光滑不变测度等分布。
• 在标准映射的离散扰动情形下，通过解析方法验证了增长条件。
• 在 $ \mathrm{Out}(F_2) $-作用于特征簇 $ \mathrm{Hom}(F_2,\mathrm{SU}(2))//\mathrm{SU}(2) $ 的情形下，通过数值方法验证了增长条件。
• 计算在 28 核心集群上完成，使用 64 GB 内存，耗时 47,714 秒。
• 通过坐标 $ x, y, z $ 的有理函数显式计算了导数界，其中 $ C_M = 600 $，$ C_\theta = 600 $，$ C = 0.25 $，确保了一致扩张条件的全局有效性。