[论文解读] Stationary processes with pure point diffraction

Daniel Lenz, Robert V. Moody|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 28被引用 14

一句话总结

本文引入了在局部紧阿贝尔群上的遍历空间平稳过程作为研究衍射和数学衍射理论中逆问题的一般框架。它利用关联关系群的对偶群，对具有给定纯点衍射测度的所有平稳过程进行了完整分类，解决了纯点衍射的同素体问题，并通过特征函数与巴拿赫代数构造，将纯点衍射与几乎周期性联系起来。

ABSTRACT

We consider the construction and classification of some new mathematical objects, called ergodic spatial stationary processes, on locally compact Abelian groups, which provide a natural and very general setting for studying diffraction and the famous inverse problems associated with it. In particular we can construct complete families of solutions to the inverse problem from any given pure point measure that is chosen to be the diffraction. In this case these processes can be classified by the dual of the group of relators based on the set of Bragg peaks, and this gives a solution to the homometry problem for pure point diffraction. An ergodic spatial stationary process consists of a measure theoretical dynamical system and a mapping linking it with the ambient space in which diffracting density is supposed to exist. After introducing these processes we study their general properties and link pure point diffraction to almost periodicity. Given a pure point measure we show how to construct from it and a given set of phases a corresponding ergodic spatial stationary process. In fact we do this in two separate ways, each of which sheds its own light on the nature of the problem. The first construction can be seen as an elaboration of the Halmos--von Neumann theorem, lifted from the domain of dynamical systems to that of stationary processes. The second is a Gelfand construction obtained by defining a suitable Banach algebra out of the putative eigenfunctions of the desired dynamics.

研究动机与目标

• 开发一个统一的数学框架，用于在统一设定下研究衍射和逆问题。
• 对产生给定纯点衍射测度的所有平稳过程进行完整分类，解决此情境下的同素体问题。
• 通过特征函数与动力系统，建立纯点衍射与几乎周期性之间的联系。
• 提供从给定纯点衍射测度和相位数据构造平稳过程的构造性方法。
• 通过其在测试函数上的作用而非显式的几何或测度论描述，阐明底层结构的本质。

提出的方法

• 将遍历空间平稳过程引入为配备与环境空间关联映射的测度论动力系统，从而定义自相关与衍射测度。
• 采用两种不同的构造方法：一种基于哈尔莫斯–冯诺依曼定理向平稳过程的推广，另一种通过巴拿赫代数上特征函数的盖尔范德构造。
• 应用局部紧阿贝尔群上的调和分析，利用傅里叶变换将物理空间中的自相关与傅里叶空间中的衍射联系起来。
• 通过关联动力系统的谱性质表征纯点衍射，将其与几乎周期性及连续特征函数的存在性联系起来。
• 通过源自布拉格峰的关联关系群的对偶群对逆问题的解进行分类，表明解空间在卷积下构成一个群。
• 利用里斯表示定理，识别出在关联泛函满足适当连续性与有界性条件时，即使原始结构非 $L^1$-可 summable，过程仍可被解释为取值于测度的过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个正的中心对称测度是否都能作为某个平稳过程的衍射？
• RQ2 所有产生给定纯点衍射测度的平稳过程的完整分类是什么？
• RQ3 底层过程具有哪些结构性质？如何在不显式几何实现的情况下对其进行描述？
• RQ4 如何从给定的纯点衍射测度构造出逆衍射问题的所有解？
• RQ5 在求解逆问题所用的矩层次结构下，是否存在更深层次的代数或上同调结构？

主要发现

• 所有具有给定纯点衍射测度的平稳过程均通过与布拉格峰相关的关联关系群的对偶群进行分类，为该情境下的同素体问题提供了完整解。
• 具有固定纯点衍射的解空间在卷积下构成一个群，表明其具有丰富的代数结构。
• 纯点衍射等价于底层过程的几乎周期性，这通过关联动力系统中连续特征函数的存在性得以证明。
• 此类过程的构造可通过两种方式实现：一种是哈尔莫斯–冯诺依曼型提升，另一种是巴拿赫代数上特征函数的盖尔范德构造，每种方法提供了不同的洞见。
• 即使原始结构非 $L^1$-可 summable，只要关联泛函满足适当的连续性与有界性条件，过程仍可被解释为取值于测度的过程。
• 当结构满足 $m$ 个和集 $\mathcal{S}+\cdots+\mathcal{S}=\mathcal{E}$ 的和集条件时，过程的矩（特别是至 $2m+1$ 阶）可完全确定该过程，表明解具有层次化组织结构。