[论文解读] Stationary states of Bose-Einstein condensates in single- and multi-well trapping potentials

Roberto D’Agosta, Boris A. Malomed+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2001

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 17

一句话总结

本文通过Gross-Pitaevskii方程（GPE）研究了在单阱和多阱势场中玻色-爱因斯坦凝聚体的定态。识别出两类解：具有线性对应解的解（在弱非线性极限下退化为薛定谔方程本征态）和不具有线性对应解的解。关键发现是在多阱势场中，当非线性强度较强时，不具有线性对应解的解出现，形成局域于势场极大值处的暗孤子或亮孤子链，这些解为宏观激发态，可能在实验中观测到。

ABSTRACT

The stationary solutions of the Gross-Pitaevskii equation can be divided in two classes: those which reduce, in the limit of vanishing nonlinearity, to the eigenfunctions of the associated Schrödinger equation and those which do not have linear counterpart. Analytical and numerical results support an existence condition for the solutions of the first class in terms of the ratio between their proper frequency and the corresponding linear eigenvalue. For one-dimensional confined systems, we show that solutions without linear counterpart do exist in presence of a multi-well external potential. These solutions, which in the limit of strong nonlinearity have the form of chains of dark or bright solitons located near the extrema of the potential, represent macroscopically excited states of a Bose-Einstein condensate and are in principle experimentally observable.

研究动机与目标

• 将受限势场中Gross-Pitaevskii方程（GPE）的定态解分类为具有和不具有线性对应解的两类。
• 基于化学势与线性本征值之比，建立具有线性对应解的解的存在条件。
• 研究在多阱势场中，尤其在强非线性极限下，不具有线性对应解的解的出现与结构。
• 通过双阱势场中的能量最小化机制，分析这些无线性对应解的形成机理。
• 评估具有和不具有线性对应解的孤子态在小扰动下的稳定性，以评估其在典型玻色-爱因斯坦凝聚实验中的可观测性。

提出的方法

• 对一维单阱和多阱势场中定态GPE进行解析与数值分析。
• 利用化学势μ和归一化数N定义弱非线性极限下的解，将μ与线性本征值En关联。
• 在双阱势场中应用变分法近似求解，假设解为以各阱中心为中心的基态波函数的叠加。
• 推导出依赖于两阱间布居不平衡b₀的有效能量泛函E(b₀)，包含隧穿项与非线性相互作用项。
• 采用渐近分析描述强非线性极限下解的形状，表明在势场极大值处形成孤子链。
• 通过第三部分所述程序进行数值计算，验证结果与解析近似及真实凝聚体的物理参数一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，GPE的具有线性对应解的定态解存在？其存在性与化学势和线性本征值之比有何关系？
• RQ2 在多阱势场中，不具有线性对应解的解如何出现？其在强非线性极限下的结构特征是什么？
• RQ3 在双阱势场中，随着非线性强度（或粒子数）增加，无线性对应解的形成机制是什么？
• RQ4 势场的对称性如何影响孤子态的形成与局域化？
• RQ5 具有和不具有线性对应解的孤子态在小扰动下的稳定性如何？它们是否可在典型玻色-爱因斯坦凝聚实验中被观测到？

主要发现

• 当U₀ > 0时，仅当μ > En；当U₀ < 0时，仅当μ < En时，具有线性对应解的解才存在，且当μ → En时，Nₙ(μ) → 0。
• 在强非线性极限下，具有线性对应解的解表现为局域于势场极大值附近的暗孤子链（排斥性相互作用）或亮孤子链（吸引性相互作用）。
• 在多阱势场中存在不具有线性对应解的解，其通过非线性增强时从对称线性态分岔产生，尤其在N/N₀ ≈ 1时显著。
• 当U₀ > 0时，反对称线性态（b₀ = -2⁻¹ᐟ²）分岔为b₀ = 0处的极小值，对应于无线性对应解的0-暗孤子态，局域于单个阱中。
• 当U₀ < 0时，对称线性态（b₀ = 2⁻¹ᐟ²）分岔为b₀ = 0处的极小值，对应于无线性对应解的1-亮孤子态，局域于单个阱中。
• 使用真实参数（m = 3.818×10⁻²⁶ kg，ω = 12.75 Hz，U₀ = 1.1087×10⁻⁴¹ Jm）的数值模拟证实了这些无线性对应解的存在与局域性，双阱间距约为~92 μm。