[论文解读] Statistical Analysis and Parameter Selection for Mapper

Mathieu Carrière, Bertrand Michel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 27被引用 59

一句话总结

映射器被证明会收敛到Reeb图，并且是一个最优估计器，从而实现拓扑特征的自动参数调优和置信区间。

ABSTRACT

In this article, we study the question of the statistical convergence of the 1-dimensional Mapper to its continuous analogue, the Reeb graph. We show that the Mapper is an optimal estimator of the Reeb graph, which gives, as a byproduct, a method to automatically tune its parameters and compute confidence regions on its topological features, such as its loops and flares. This allows to circumvent the issue of testing a large grid of parameters and keeping the most stable ones in the brute-force setting, which is widely used in visualization, clustering and feature selection with the Mapper.

研究动机与目标

• 激发将 Mapper 作为无监督学习和可视化的拓扑数据分析工具的使用。
• 建立将 Mapper 与连续 Reeb 图联系起来的统计收敛框架。
• 基于滤波器的正则性和数据标准化性推导参数选择指南和收敛速率。
• 提供构建 Mapper 拓扑特征（如环和羽状结构）的置信区间的方法。

提出的方法

• 用特定的一阶骨架（Rips）和滤波范围的规则覆盖来定义 Mapper，使用固定长度 r 的区间和固定重叠量 g。
• 使用扩展持久性图和持久性度量 dΔ 将 Mapper 输出与 Reeb 图进行比较。
• 在可及性/凸性假设和滤波器 f 的连续性模量 ω 下，证明一个近似不等式，使 dΔ(R_f(X), M_n) 被 r + 2ω(δ) 上界。
• 推导 Mapper 随着 n 增大而的极小极大收敛速率，取决于标准性参数 (a, b) 和 f 的连续性模量。
• 描述两种设置：已知生成模型的精确滤波和推断滤波（估计量）及其相应的风险界。
• 给出推论以及子采样策略的推论，以处理未知的生成参数并提供稳定性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Morse 型滤波下，Mapper 是否能稳定地近似空间的 Reeb 图？
• RQ2 在滤波器和数据分布的正则性给定的情况下，随着样本量增加，Mapper 到 Reeb 图的收敛速率是多少？
• RQ3 应如何选择 Mapper 的参数（r、g、δ）以优化估计误差并避免伪影？
• RQ4 如何通过扩展持久性计算 Mapper 的拓扑特征（环、羽状结构）的置信区域？
• RQ5 在估计器风险和实际参数调优方面，精确滤波与推断滤波设置如何比较？

主要发现

• 在特定参数选择下，Mapper 满足 dΔ(R_f(X), M_n) ≤ r + 2ω(δ)，提供了具体的近似界。
• Mapper 到 Reeb 图的收敛速率与滤波器的连续性模量 ω 以及数据维度参数 b 相关，在对数因子影响下达到极小极大最优。
• 在标准性假设 (a, b) 以及 Lipschitz 或凹形的连续性模量下，Mapper 实现的收敛速率与相关集合估计问题的已知速率相当。
• 推论显示对滤波估计误差具有鲁棒性，界限包含估计量偏差 ω(δ) 与样本引起的差异。
• 子采样策略在真实生成模型参数未知时实现参数调优，并保持收敛性保证。