[论文解读] Statistical and other properties of Riemann zeros based on an explicit equation for the $n$-th zero on the critical line

Guilherme França, André LeClair|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 20被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种显式的超越方程，用于描述临界线上黎曼ζ函数的第 $n$ 个非平凡零点 $ ho_n = \frac{1}{2} + iy_n$，该推导未假设黎曼猜想。通过使用Lambert $W$ 函数进行近似和数值验证，作者表明该方程的解满足Montgomery和Odlyzko的对相关猜想，并重构了素数定理计数函数，强烈支持所有非平凡零点均位于临界线上。

ABSTRACT

We show that there are an infinite number of Riemann zeros on the critical line, enumerated by the positive integers $n=1,2,\dotsc$, whose ordinates can be obtained as the solution of a new transcendental equation that depends only on $n$. Under weak assumptions, we show that the number of such zeros already saturates the counting formula for the numbers of zeros on the entire critical strip. These results thus constitute a concrete proposal toward verifying the Riemann hypothesis. We perform numerical analyses of the exact equation, and its asymptotic limit of large ordinate. The starting point is an explicit analytical formula for an approximate solution to the exact equation in terms of the Lambert $W$ function. In this way, we neither have to use Gram points or deal with violations of Gram's law. Our numerical approach thus constitutes a novel method to compute the zeros. Employing these numerical solutions, we verify that solutions of the asymptotic version are accurate enough to confirm Montgomery's and Odlyzko's pair correlation conjectures and also to reconstruct the prime number counting function.

研究动机与目标

• 推导一个不假设黎曼猜想的、关于临界线上第 $n$ 个非平凡零点的显式方程。
• 提出一种新颖的数值方法，用于计算黎曼零点，避免使用Gram点及Gram定律的违反。
• 验证该渐近方程的解能否重现零点的关键统计性质，如对相关性与素数计数函数 $\pi(x)$。
• 证明通过新方程在临界线上计数的零点数量可完全饱和临界带的完整计数公式，从而暗示所有非平凡零点均位于该线上。

提出的方法

• 推导出一个超越方程（公式20），精确确定临界线上第 $n$ 个零点的虚部 $y_n$。
• 利用Lambert $W$ 函数构造一个显式的近似解（公式25），从而实现高效的数值计算。
• 采用从Lambert $W$ 近似出发的数值求根方法，避免依赖Gram点或检查Gram定律的违反。
• 通过测试其重现Montgomery-Odlyzko对相关性以及重构 $\pi(x)$ 的能力，验证渐近解（公式14）的准确性。
• 对特定零点（如 $n=1000$）进行高精度数值求解（高达500位小数），确认其与已知值的一致性。
• 比较精确方程（20）与其中渐近形式（14）的解，表明两者均能产生准确的统计与算术结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不假设黎曼猜想的前提下，为临界线上黎曼ζ函数的第 $n$ 个非平凡零点推导出一个显式的超越方程？
• RQ2 该方程的渐近形式是否能重现Montgomery和Odlyzko所预测的黎曼零点对相关性统计特性？
• RQ3 该方程的数值解能否准确重构素数计数函数 $\pi(x)$？
• RQ4 该方程在临界线上解的数量是否与临界带的完整计数公式 $N(T)$ 相匹配，从而暗示所有非平凡零点均位于该线上？
• RQ5 所提出的方法是否为现有零点计算技术（如基于Gram点的方法）提供一种稳定且高效的替代方案？

主要发现

• 通过数值验证，精确超越方程（20）被确认对已知的黎曼零点恒成立，证实其在临界线上的有效性。
• 由Lambert $W$ 函数导出的渐近近似（14）精度足够高，可重现Montgomery和Odlyzko的对相关猜想。
• 渐近方程的数值解成功重构了素数计数函数 $\pi(x)$，与已知结果一致。
• 对 $n=126$ 和 $n=1000$ 的解进行了高精度计算（高达500位小数），证明了方法的数值稳定性和准确性。
• 该方程在临界线上解的数量完全饱和了完整计数公式 $N(T)$，为所有非平凡零点均位于临界线上提供了强有力证据。
• 该方法避免了Gram点和Gram定律的违反，提供了一种新颖、直接且高效的黎曼零点计算方法。