[论文解读] Statistical Behaviour of the Leaves of Riccati Foliations

Ch. Bonatti, Xavier Gómez-Mont+1 more|ArXiv.org|Jun 18, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通過葉層化地鐵流研究緊緻雙曲黎曼曲面上Riccati葉層的統計動力學。對於一類典型的單值表示，該流具有唯一的SRB測度，其Lebesgue測度基域為全集，且在地鐵流與拋物流下不變，並投影至葉層上的調和測度。

ABSTRACT

We introduce the geodesic flow on the leaves of a holomorphic foliation with leaves of dimension 1 and hyperbolic, corresponding to the unique complete metric of curvature -1 compatible with its conformal structure. We do these for the foliations associated to Riccati equations, which are the projectivisation of the solutions of linear ordinary differential equations over a finite Riemann surface of hyperbolic type S, and may be described by a representation r:pi_1(S) -> GL(n,C). We give conditions under which the foliated geodesic flow has a generic repellor-attractor statistical dynamics. That is, there are measures m- and m+ such that for almost any initial condition with respect to the Lebesgue measure class the statistical average of the foliated geodesic flow converges for negative time to m- and for positive time to m+ (i.e. m+ is the unique SRB-measure and its basin has total Lebesgue measure). These measures are ergodic with respect to the foliated geodesic flow. These measures are also invariant under a foliated horocycle flow and they project to a harmonic measure for the Riccati foliation, which plays the role of an attractor for the statistical behavior of the leaves of the foliation.

研究动机与目标

• 理解由Riccati方程產生的奇異全純葉層中葉的統計行為。
• 確定此類葉上葉層化地鐵流是否具有基域為全Lebesgue測度的SRB（物理）測度。
• 透過葉層化地鐵流與拋物流的不變性，建立Riccati葉層的調和測度的存在性與唯一性。
• 透過Teichmüller理論中單值表示的分析，將SRB測度結果從正則葉層推廣至奇異葉層。
• 證明SRB測度在葉層化拋物流下不變，且在基空間上投影為調和測度。

提出的方法

• 在Riccati葉層的每片葉上引入Poincaré度量，將每片葉視為雙曲黎曼曲面。
• 在葉層的單位切叢上定義葉層化地鐵流，使用基空間上地鐵流的拉回。
• 構造葉層化拋物流，並證明SRB測度在地鐵流與拋物流下不變。
• 利用基空間基本群的典型表示定義線性ODE的單值性，進而導出Riccati葉層。
• 應用Bers的同時單值化定理，證明接近典型表示的表示為擬共形共軛，且保持動力性質。
• 透過共軛將典型情況下的SRB測度轉移到鄰近表示，並利用絕對連續性證明其存在性與唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何種條件下，Riccati葉層上的葉層化地鐵流會具有唯一的SRB測度，且其基域為全Lebesgue測度？
• RQ2 SRB測度與Riccati葉層上的調和測度有何關係？
• RQ3 葉層化拋物流在特徵化SRB測度中扮演何種角色？
• RQ4 地鐵流的動力性質在單值表示的擬共形共軛下能保持到何種程度？
• RQ5 SRB測度的存在性與唯一性能否從典型表示推廣至表示空間中的一個開鄰域？

主要发现

• 對於位於典型表示鄰近的單值表示所對應的Riccati葉層，葉層化地鐵流在正負時間下均具有唯一的SRB測度，且其基域為全Lebesgue測度。
• SRB測度在葉層化地鐵流與拋物流下不變，確立了其動力特徵。
• SRB測度在基空間上的投影是Riccati葉層的唯一且遍歷的調和測度。
• SRB測度透過擬共形共軛下拉回典型SRB測度獲得，且保持絕對連續性。
• 地鐵流表現出典型的排斥子-吸引子動力學：幾乎所有軌道在時間→+∞時統計收斂至正SRB測度，時間→-∞時收斂至負SRB測度。
• 由於擬共形共軛，SRB測度的存在性在Teichmüller空間中單值表示的小變形下具有穩定性。