[论文解读] Statistical convergence of order $\alpha$ in probability

Pratulananda Das, Sanjoy Ghosal+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Approximation Theory and Sequence Spaces参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文引入并分析了概率论中随机变量序列的四种新型统计收敛模式：依概率的α阶统计收敛、依概率的α阶强p-Cesàro可求和性、依概率的α阶间隙统计收敛（Sθ-收敛）以及依概率的α阶Nθ-收敛。文章建立了它们之间关系的关键定理，证明了极限的唯一性，并展示了根据α和β的不同，各类收敛之间的严格包含关系，其中间隙序列的增长率（lim inf qr > 1）起着关键作用。

ABSTRACT

In this paper ideas of different types of convergence of a sequence of random variables in probability, namely, statistical convergence of order $\alpha$ in probability, strong $p$-Ces$\grave{\mbox{a}}$ro summability of order $\alpha$ in probability, lacunary statistical convergence or $S_{ heta}$-convergence of order $\alpha$ in probability, ${N_{ heta}}$-convergence of order $\alpha$ in probability have been introduced and their certain basic properties have been studied.

研究动机与目标

• 将统计收敛的概念扩展至概率论中的随机变量序列，引入四种新的收敛模式：α阶统计收敛、α阶强p-Cesàro可求和性、α阶间隙统计收敛（Sθ-收敛）以及α阶Nθ-收敛。
• 建立这四种收敛模式之间的基本性质与关系，尤其关注其相互依赖性与层级结构。
• 研究不同收敛模式相互蕴含的条件，特别是间隙序列增长率（由lim inf qr > 1刻画）所起的作用。
• 通过反例证明，在概率设定下，标准统计收敛结果的逆命题不成立，即α阶收敛不蕴含β阶收敛（当α < β时）。
• 证明四种收敛模式下极限在概率意义下的唯一性，并阐明不同收敛模式下极限重合的条件。

提出的方法

• 通过以下条件引入依概率的α阶统计收敛：对所有ε, δ > 0，有 limₙ→∞ (1/n^α) |{k ≤ n : P(|Xₖ − X| ≥ ε) ≥ δ}| = 0。
• 通过将Cesàro平均扩展至具有α阶的随机收敛，定义依概率的α阶强p-Cesàro可求和性。
• 利用间隙序列θ = {θᵣ}引入依概率的α阶间隙统计收敛（Sθ-收敛），其条件为：limᵣ→∞ (1/hᵣ^α) Σ_{k∈Iᵣ} P(|Xₖ − X| ≥ ε) = 0。
• 通过间隙区间上概率的平均值，定义依概率的α阶Nθ-收敛：limᵣ→∞ (1/hᵣ^α) Σ_{k∈Iᵣ} P(|Xₖ − X| ≥ ε) = 0。
• 利用α-自然密度概念及间隙区间的增长率（hᵣ = θᵣ − θᵣ₋₁）分析收敛行为。
• 采用反证法与比较法证明收敛类之间的包含关系，特别证明当α < β且lim inf qr > 1时，有PNαθ ⊂ PSβθ。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，依概率的α阶统计收敛蕴含或不蕴含β阶收敛（当α < β时）？
• RQ2 所引入的四种收敛模式——统计收敛、强p-Cesàro收敛、Sθ-收敛与Nθ-收敛——在包含关系与等价性方面如何相互关联？
• RQ3 间隙序列的增长率（lim inf qr > 1）在决定不同收敛模式之间关系中起何作用？
• RQ4 一个序列能否在依概率的α阶统计收敛下收敛，但对β < α不收敛？若能，如何构造此类序列？
• RQ5 在这些收敛模式下，序列的极限是否唯一？不同收敛模式下的极限在何种条件下重合？

主要发现

• 在依概率的α阶统计收敛下，序列的极限几乎必然唯一，即若存在两个极限，则P{X = Y} = 1。
• 对任意α, β ∈ (0,1]，若Xₙ → X在Sα中成立且Xₙ → Y在Sβ中成立，则P{X = Y} = 1，证明了概率意义下极限的唯一性。
• 当α < β时，PSα ⊂ PSβ成立，且该包含关系是严格的，即存在在β阶收敛但不在α阶收敛的序列。
• 对于固定的间隙序列θ，Sθ极限与Nθ极限是唯一的，但不同的间隙序列可能产生不同的极限，如例3.1所示。
• 当α < β时，有PNαθ ⊂ PSβθ，且该包含关系是严格的，通过构造一个Sβ收敛但Nα不收敛的序列得以证明。
• 条件lim inf qr > 1是PSα ⊂ PSβθ成立的必要且充分条件；若lim inf qr = 1，则存在一个序列，其为α阶统计收敛但不是β阶Sθ收敛（当β > α时）。