[论文解读] Statistical Cost Sharing

Eric Balkanski, Umar Syed+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2017

Game Theory and Voting Systems被引用 11

一句话总结

本文提出了统计成本分摊（Statistical Cost Sharing）框架，用于在仅有子集成本的采样数据可用时，计算公平的成本分摊——特别是核心（core）和Shapley值。该框架提出了一种直接方法来计算成本分摊，而无需学习完整的成本函数，证明了样本复杂度边界，并引入了一种数据依赖的Shapley值，可从样本中准确近似。

ABSTRACT

We study the cost sharing problem for cooperative games in situations where the cost function $C$ is not available via oracle queries, but must instead be derived from data, represented as tuples $(S, C(S))$, for different subsets $S$ of players. We formalize this approach, which we call statistical cost sharing, and consider the computation of the core and the Shapley value, when the tuples are drawn from some distribution $\mathcal{D}$. Previous work by Balcan et al. in this setting showed how to compute cost shares that satisfy the core property with high probability for limited classes of functions. We expand on their work and give an algorithm that computes such cost shares for any function with a non-empty core. We complement these results by proving an inapproximability lower bound for a weaker relaxation. We then turn our attention to the Shapley value. We first show that when cost functions come from the family of submodular functions with bounded curvature, $κ$, the Shapley value can be approximated from samples up to a $\sqrt{1 - κ}$ factor, and that the bound is tight. We then define statistical analogues of the Shapley axioms, and derive a notion of statistical Shapley value. We show that these can always be approximated arbitrarily well for general functions over any distribution $\mathcal{D}$.

研究动机与目标

• 解决仅能获得部分、采样得到的子集成本数据而非完整预言机访问时，公平成本分摊的计算挑战。
• 将先前关于统计核心计算的工作推广至所有核心非空的博弈，而不仅限于受限函数类。
• 提出并形式化一种经典Shapley值的统计类比，称为数据依赖的Shapley值，专为采样数据设计。
• 建立样本复杂度边界，确保以高概率准确近似核心与Shapley值。
• 定义并验证一种统计版本的Shapley公理，确保在数据驱动设定下具备公平性与一致性。

提出的方法

• 提出一种直接算法，仅使用采样元组 $(S, C(S))$，无需显式学习成本函数，即可计算核心的成本分摊。
• 引入数据依赖的Shapley值作为经典Shapley值的统计类比，定义为 $\phi^\mathcal{D}_i = \sum_{S: i \in S} \Pr[S \sim \mathcal{D}] \cdot \frac{C(S)}{|S|}$。
• 为实际估计定义经验数据依赖的Shapley值 $\tilde{\phi}^\mathcal{D}_i = \frac{1}{m} \sum_{S_j: i \in S_j} \frac{C(S_j)}{|S_j|}$。
• 利用Hoeffding不等式界定估计误差，证明在使用 $\text{poly}(n, 1/\epsilon, 1/\delta)$ 个样本时，$|\tilde{\phi}^\mathcal{D}_i - \phi^\mathcal{D}_i| < \epsilon$ 以高概率成立。
• 证明数据依赖的Shapley值满足四个经典Shapley公理的统计类比：平衡性、对称性、零元素和可加性。
• 建立核心满足性放宽情况下的不可近似性结果，表明在一般情况下无法以概率1保证精确满足核心。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否针对任意核心非空的成本函数，从采样数据中高效计算满足核心性质的成本分摊？
• RQ2 在子模函数具有有界曲率的情况下，近似Shapley值所需的样本复杂度是多少？
• RQ3 在仅观察到玩家子集的采样数据时，如何在统计框架中重新定义经典Shapley值？
• RQ4 能否定义一种统计版本的Shapley公理，使得由此产生的值既公平又可从数据中估计？
• RQ5 当成本函数仅部分可观测时，能否以高概率近似核心或Shapley值？

主要发现

• 提出一种算法，可在任意核心非空的成本函数下，以高概率计算满足核心的成本分摊，并给出明确的样本复杂度边界。
• 对于曲率为 $\kappa$ 的子模函数，Shapley值可从样本中以 $\sqrt{1 - \kappa}$ 的因子内近似，且该界是紧致的。
• 数据依赖的Shapley值满足所有四项统计类比的Shapley公理，确保在采样模型下具备公平性与一致性。
• 经验数据依赖的Shapley值以至少 $1 - \delta$ 的概率，在 $\epsilon$ 误差范围内近似真实数据依赖的Shapley值，所需样本数为 $\text{poly}(n, 1/\epsilon, 1/\delta)$。
• 证明了在一般情况下，以概率1近似满足核心是不可能的，确立了统计设定下的基本限制。
• 该框架使得在移动电池归属分配和球员影响力评分等现实应用中实现准确成本分摊成为可能，其中完整成本函数的访问不可行。