[论文解读] Statistical Equilibrium of Circulating Fluids

Alexander Migdal|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2022

Computational Physics and Python Applications被引用 25

一句话总结

该论文分析 Navier–Stokes 的无粘极限，揭示支配湍流统计的异常项和拓扑结构（Kelvinons），并推导出将循环 PDFs 与循环空间中的薛定谔-样问题联系起来的环路方程。

ABSTRACT

We are investigating the inviscid limit of the Navier-Stokes equation, and we find previously unknown anomalous terms in Hamiltonian, Dissipation, and Helicity, which survive this limit and define the turbulent statistics. We find various topologically nontrivial configurations of the confined Clebsch field responsible for vortex sheets and lines. In particular, a stable vortex sheet family is discovered, but its anomalous dissipation vanishes as $\sqrtν$. Topologically stable stationary singular flows, which we call Kelvinons, are introduced. They have a conserved velocity circulation $Γ_α$ around the loop $C$ and another one $Γ_β$ for an infinitesimal closed loop $ ilde C$ encircling $C$, leading to a finite helicity. The anomalous dissipation has a finite limit, which we computed analytically. The Kelvinon is responsible for asymptotic PDF tails of velocity circulation, extbf{perfectly matching numerical simulations}. The loop equation for circulation PDF as functional of the loop shape is derived and studied. This equation is extbf{exactly} equivalent to the Schrödinger equation in loop space, with viscosity $ν$ playing the role of Planck's constant. Kelvinons are fixed points of the loop equation at WKB limit $ν ightarrow 0$. The anomalous Hamiltonian for the Kelvinons contains a large parameter $\log \frac{|Γ_β|}ν$. The leading powers of this parameter can be summed up, leading to familiar asymptotic freedom, like in QCD. In particular, the so-called multifractal scaling laws are, as in QCD, modified by the powers of the logarithm.

研究动机与目标

• 研究 Navier–Stokes 方程的无粘极限（ν → 0）并识别在哈密顿量、耗散和螿角中的仍然存活的异常项。
• 表征形成涡层与涡线的拓扑非平凡 Clebsch 场配置，包括稳定的涡层和 Kelvinons。
• 为循环 PDF 构建一个环路方程，作为环形形状的泛函并建立其等价于环空间中的薛定谔方程。
• 引入并分析具有两个缠绕数的稳定奇异流（Kelvinons），并将其与观测到的 PDF 尾部及耗散统计联系起来。

提出的方法

• 使用规范的 Clebsch 变量对涡度进行参数化，并将 Euler 动力学描述为带有规范不变性的 Clebsch 流。
• 引入并分析涡层与 Burgers 涡核以正则化奇点并计算异常耗散（涡层：耗散 ~ √ν；涡线：有限耗散）。
• 构建并研究具有两个缠绕数的 Kelvinon 解，推导它们的螿角及在能量流动和耗散中的作用。
• 推导循环 PDF 的环路方程，将湍流极限重新表述为环空间中的 WKB/Schrödinger（schur-like）问题，并检验面积与张量面积定律。
• 将环路方程与环空间中的量子力学框架联系起来，使在拓扑 Kelvinon 配置上的循环量可以量子化，并通过对数增强参数探索渐近自由。

实验结果

研究问题

• RQ1 ν → 0 无粘极限中的哪些异常项仍然存在于 Navier–Stokes 动力学中，它们如何影响湍流统计？
• RQ2 哪些拓扑涡结构（涡层与涡线）对湍流至关重要，它们如何贡献耗散与螿角？
• RQ3 环路方程如何支配速度循环的 PDF，它与环空间中的薛定谔方程有何关系？
• RQ4 Kelvinons 是什么，它们如何在拓扑上表征，如何再现观测到的 PDF 尾部和间歇性？
• RQ5 对数修正和渐近自由如何影响该框架下的多重标度规律？

主要发现

• 在无粘极限下仍然存在的哈密顿量、耗散和螿角中的异常项的识别。
• 发现稳定的涡层构型与具有两个缠绕数的新颖 Kelvinon 解，它们产生有限螿角和异常耗散。
• 对 Kelvinons 的异常耗散进行解析计算并证明 Kelvinons 解释速度循环的渐近 PDF 尾部。
• 推导循环 PDF 的环路方程，并证明其等价于环空间中的薛定谔方程，其中 ν 在该表示中充当普朗克常数。
• 证据表明 Kelvinon 生成的 PDF 尾部与数值 DNS 结果一致，包括时间反演对称性的破缺。
• 通过带对数增强参数的渐近标度形式，将渐近自由 formalize 成类似于 QCD 的形式。