[论文解读] Statistical inference and hypotheses testing of risk averse stochastic programs

Vincent Guigues, Volker Krätschmer+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2016

Risk and Portfolio Optimization参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文针对使用样本平均近似（SAA）方法的风险厌恶型随机规划问题，开发了统计推断与假设检验方法。在分布不变的相干风险度量下，建立了最优值与最优解的中心极限定理型结果，从而实现对多个随机规划问题最优值进行渐近与非渐近检验。关键贡献在于证明了渐近检验相比非渐近方法能显著降低第二类错误，尤其在小至中等样本量下表现更优。

ABSTRACT

We study statistical properties of the optimal value and optimal solutions of the Sample Average Approximation of risk averse stochastic problems. Central Limit Theorem type results are derived for the optimal value and optimal solutions when the stochastic program is expressed in terms of a law invariant coherent risk measure. The obtained results are applied to hypotheses testing problems aiming at comparing the optimal values of several risk averse convex stochastic programs on the basis of samples of the underlying random vectors. We also consider non-asymptotic tests based on confidence intervals on the optimal values of the stochastic programs obtained using the Stochastic Mirror Descent algorithm. Numerical simulations show how to use our developments to choose among different distributions and show the superiority of the asymptotic tests on a class of risk averse stochastic programs.

研究动机与目标

• 开发基于分布不变相干风险度量的风险厌恶型随机规划最优值与最优解的统计推断方法。
• 利用样本数据，实现对多个风险厌恶型随机规划问题最优值比较的假设检验。
• 在不同样本量与问题维度下，评估渐近检验与非渐本检验在第二类错误率方面的表现。
• 提供实用工具，基于风险度量排序，利用统计置信区间从候选解或分布中进行选择。

提出的方法

• 推导在分布不变相干风险度量下，样本平均近似（SAA）问题最优值与最优解的中心极限定理型渐近分布。
• 应用SAA方法，利用底层随机向量的独立同分布样本近似真实随机规划问题，并在正则性条件下分析其收敛性质。
• 为比较K个风险厌恶型凸随机规划问题的最优值，开发包含等式、不等式及有序约束的渐近假设检验。
• 基于随机镜像下降算法导出的置信区间，提出适用于有限样本的非渐近检验，以评估最优值差异。
• 通过数值模拟，比较渐近与非渐近检验在第二类错误率与置信区间宽度方面的实际表现。
• 采用样本量为$10^6$的基准，估算真实最优值，以验证检验精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否可靠地将渐近统计推断应用于SAA方法下的风险厌恶型随机规划最优值与最优解？
• RQ2 在小至中等样本量下，渐近与非渐近假设检验在第二类错误率方面如何比较？
• RQ3 当样本量低至N=20时，SAA最优值分布的正态近似在风险厌恶型问题中在多大程度上成立？
• RQ4 统计检验能否有效用于基于风险度量值对不同候选分布或解进行选择？
• RQ5 渐近与非渐近方法的置信区间在宽度与接近真实最优值的程度上如何比较？

主要发现

• 在所有测试比较中，当样本量超过$N=100$时，渐近检验的第二类错误为零，而非渐近检验在某些情况下直至$N=10^5$仍保持100%的第二类错误。
• 当$N=20$时，最优值的渐近置信区间已接近真实值，覆盖概率趋近于名义水平。
• 由于置信区间更紧致且更准确，即使在小样本量下，渐近检验在降低第二类错误方面也优于非渐近检验。
• 当$N \geq 20$且问题规模达$n=10,000$时，SAA最优值分布的高斯近似是准确的。
• 渐近置信区间比非渐近区间更窄且更接近真实最优值，这解释了其在检测真实备择假设时更高的统计功效。
• 当$N=10^5$时，渐近检验在所有比较中均实现零第二类错误，而非渐近检验在某些情况下仍显示100%的第二类错误，表明两者存在显著性能差距。