[论文解读] Statistical mechanics of self-gravitating systems in general relativity: I. The quantum Fermi gas

Pierre-Henri Chavanis|arXiv (Cornell University)|Aug 28, 2019

Statistical Mechanics and Entropy参考文献 319被引用 32

一句话总结

本文在广义相对论框架下为自引力费米子系统构建了统计力学理论，通过熵最大化推导出平衡态和物态方程。该理论恢复了Tolman-Oppenheimer-Volkoff方程与Tolman-Klein关系，并表明在非相对论极限下可重现牛顿力学结果，关键应用包括白矮星与中子星。

ABSTRACT

We develop a general formalism to determine the statistical equilibrium states of self-gravitating systems in general relativity and complete previous works on the subject. Our results are valid for an arbitrary form of entropy but, for illustration, we explicitly consider the Fermi-Dirac entropy for fermions. The maximization of entropy at fixed mass-energy and particle number determines the distribution function of the system and its equation of state. It also implies the Tolman-Oppenheimer-Volkoff equations of hydrostatic equilibrium and the Tolman-Klein relations. Our paper provides all the necessary equations that are needed to construct the caloric curves of self-gravitating fermions in general relativity as done in recent works. We consider the nonrelativistic limit $c\ ightarrow +\\infty$ and recover the equations obtained within the framework of Newtonian gravity. We also discuss the inequivalence of statistical ensembles as well as the relation between the dynamical and thermodynamical stability of self-gravitating systems in Newtonian gravity and general relativity.

研究动机与目标

• 开发一种通用形式化方法，用于确定广义相对论中自引力系统的统计平衡态。
• 将该形式化方法应用于使用费米-狄拉克统计的量子费米子，尤其适用于白矮星与中子星。
• 从熵最大化出发，推导出Tolman-Oppenheimer-Volkoff流体静力学平衡方程与Tolman-Klein关系。
• 在非相对论极限（$c \to \infty$）下恢复牛顿力学结果，并验证其与已知天体物理模型的一致性。
• 阐明统计系综之间的非等价性，以及牛顿与相对论框架下动力学稳定性与热力学稳定性的关系。

提出的方法

• 通过在固定质量-能量与粒子数下最大化熵，确定平衡分布函数与物态方程。
• 以费米-狄拉克熵泛函为例，具体说明一般形式化方法。
• 从熵最大化原理推导出Tolman-Oppenheimer-Volkoff流体静力学平衡方程。
• 建立广义相对论中温度、化学势与引力势之间的Tolman-Klein关系。
• 利用推导出的物态方程（巴罗特型）积分相对论性欧拉-爱因斯坦方程，构建热容曲线。
• 将该形式化方法应用于非相对论极限（$c \to \infty$），并恢复牛顿力学结果，包括Chandrasekhar极限质量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从熵最大化出发，系统地推导出广义相对论中自引力费米子的统计平衡态？
• RQ2 与牛顿模型相比，白矮星与中子星的质量-半径关系在相对论下有何修正？
• RQ3 Tolman-Oppenheimer-Volkoff方程与Tolman-Klein关系如何从统计力学框架中自然导出？
• RQ4 在自引力系统中，热力学稳定性（熵最大化）与动力学稳定性（能量或自由能最小化）之间存在何种关系？
• RQ5 该形式化方法如何在非相对论极限下恢复Chandrasekhar极限质量？广义相对论在最大质量处起到何种作用？

主要发现

• 在固定质量-能量与粒子数下，熵最大化原理可导出简并费米气体的正确相对论物态方程。
• 该形式化方法直接导出Tolman-Oppenheimer-Volkoff流体静力学平衡方程与Tolman-Klein关系，均为变分原理的直接结果。
• 在非相对论极限（$c \to \infty$）下，结果退化为牛顿理论中自引力费米子的描述，包括$M_{\rm max} = 1.42\,M_\odot$的Chandrasekhar极限质量。
• 在广义相对论中，白矮星的最大质量是有限的，其在$M_{\rm max}$时的半径为$R_* = 1.03 \times 10^3\,{\rm km}$，与牛顿理论中半径趋于零的预测形成鲜明对比。
• 利用相对论费米气体物态方程，推导出中子星的Oppenheimer-Volkoff极限质量为$M_{\rm max} = 0.710\,M_\odot$。
• 本文建立了热力学稳定性（最大熵）与动力学稳定性（能量或自由能最小化）之间的直接联系，证实了正则系综中的非线性Antonov第一定律。