[论文解读] Statistical Models for Degree Distributions of Networks

Kayvan Sadeghi, Alessandro Rinaldo|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2014

Graph theory and applications参考文献 12被引用 9

一句话总结

本文提出了基于无向、标记、简单网络中度分布与二度分布的指数随机图模型（ERGMs），形式化了 $dK$-图的统计特性。研究建立了最大似然估计量存在的条件，推导了渐近行为，并表明 $1K$ 模型与 Erdős-Rényi 模型存在根本性差异，凸显其在非成对独立假设下的建模能力。

ABSTRACT

We define and study the statistical models in exponential family form whose sufficient statistics are the degree distributions and the bi-degree distributions of undirected labelled simple graphs. Graphs that are constrained by the joint degree distributions are called $dK$-graphs in the computer science literature and this paper attempts to provide the first statistically grounded analysis of this type of models. In addition to formalizing these models, we provide some preliminary results for the parameter estimation and the asymptotic behaviour of the model for degree distribution, and discuss the parameter estimation for the model for bi-degree distribution.

研究动机与目标

• 正式定义并分析无向、标记、简单图中基于度与二度分布的指数族模型。
• 通过将 $dK$-图的统计特性建立在严谨的统计框架之上，研究此前在计算机科学中仅以启发式方式使用的 $dK$-图的统计性质。
• 推导 $1K$ 与 $2K$ 模型中最大似然估计量（MLE）存在性与可估性的条件。
• 研究这些模型的渐近行为，并与密集 Erdős-Rényi 随机图模型进行比较。
• 提出二度分布模型的参数化方法，并为未来在参数估计与模型多面体方面的工作提出方向。

提出的方法

• 将 $1K$ 与 $2K$ 模型形式化为指数族分布，其充分统计量来源于归一化的度分布与二度分布。
• 使用度为 $k$ 的节点的归一化计数 ($n_k(g)/n$) 与度对为 $(k_1,k_2)$ 的边的归一化计数 ($n_{k_1k_2}(g)/n$) 作为充分统计量。
• 通过重参数化 $\tilde{p}_{k_1k_2} = p_{k_1k_2}/p_{n-1,n-1}$ 减少参数空间，使模型表达为最小指数族形式。
• 将对数归一化常数 $\psi(\alpha)$ 表达为所有 $n$ 个节点的非孤立图的总和，形式为 $\psi_n(\alpha) = \log\left(\sum_{l=1}^L e^{\sum \tilde{n}_{k_1k_2}(g_l)\alpha_{k_1k_2}}\right)$。
• 通过分析模型多面体 $A_{n-1,n-2} = \text{convex hull}(\tilde{n}^{(2)}_{-}(g))$，推导 MLE 存在性的必要与充分条件。
• 结合数值实验与理论界，估计二度向量中非零项的最大数量，从而获得可估参数的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，$1K$ 与 $2K$ 指数随机图模型的最大似然估计量存在？
• RQ2 与密集 Erdős-Rényi 随机图模型相比，$1K$ 模型的渐近行为如何？
• RQ3 在单一网络观测下，$2K$ 模型中可估参数的比例是多少？可对该比例施加哪些界？
• RQ4 如何对二度分布进行参数化，以确保模型为最小且可识别的指数族形式？
• RQ5 模型多面体 $A_{n-1,n-2}$ 的结构是什么？它如何约束 $2K$ 模型中 MLE 的存在性？

主要发现

• $1K$ 模型与 Erdős-Rényi 模型存在根本性差异，其独特的渐近行为表明该模型具有非平凡且理想化的性质，而这一性质并非所有 ERGMs 都具备。
• 对于 $1K$ 模型，当度序列位于模型多面体的相对内部时，MLE 的存在性可被保证。
• 在 $2K$ 模型中，MLE 存在当且仅当观测到的二度向量位于所有非孤立图可能的二度向量的凸包的相对内部。
• 在单一观测网络下，二度向量中非零项的数量受上界限制，该上界由有序累加后和为 $n$ 的项 $\frac{k_1+k_2}{k_1k_2}$ 的数量决定，从而给出可估参数的上界。
• 非零二度项占总向量长度的比例上界约为 0.56，该结论通过数值实验得出，并在图 4 中得到说明。
• 对于 $2K$ 模型，归一化常数 $\psi(\alpha)$ 明确表达为 $\log\left(\sum_{l=1}^L e^{\sum \tilde{n}_{k_1k_2}(g_l)\alpha_{k_1k_2}}\right)$，其中 $L$ 为 $n$ 个节点的非孤立图的数量。