[论文解读] Statistical process control via $p$-values

Hien Duy Nguyen, Dan Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2026

Advanced Statistical Process Monitoring被引用 0

一句话总结

本论文开发基于 p 值的 SPC 图表，推导通用与条件 ARL 边界，构建类似 EWMA 的 p 值方案，并通过闭测试实现多变量定位。

ABSTRACT

We study statistical process control (SPC) through charting of $p$-values. When in control (IC), any valid sequence $(P_{t})_{t}$ is super-uniform, a requirement that can hold in nonparametric and two-phase designs without parametric modelling of the monitored process. Within this framework, we analyse the Shewhart rule that signals when $P_{t}\leα$. Under super-uniformity alone, and with no assumptions on temporal dependence, we derive universal IC lower bounds for the average run length (ARL) and for the expected time to the $k$th false alarm ($k$-ARL). When conditional super-uniformity holds, these bounds sharpen to the familiar $α^{-1}$ and $kα^{-1}$ rates, giving simple, distribution-free calibration for $p$-value charts. Beyond thresholding, we use merging functions for dependent $p$-values to build EWMA-like schemes that output, at each time $t$, a valid $p$-value for the hypothesis that the process has remained IC up to $t$, enabling smoothing without ad hoc control limits. We also study uniform EWMA processes, giving explicit distribution formulas and left-tail guarantees. Finally, we propose a modular approach to directional and coordinate localisation in multivariate SPC via closed testing, controlling the family-wise error rate at the time of alarm. Numerical examples illustrate the utility and variety of our approach.

研究动机与目标

• 通过 p 值与非参数设计激发对 SPC 监控的兴趣。
• 在超均匀性下推导平均运行长度（ARL）下界。
• 推导 k 警报运行长度（k-ARL）边界及校准洞见。
• 开发直接在 p 值上运行的 EWMA 式方案。
• 提出用于多变量 SPC 的分块闭测试方法以实现方向定位。

提出的方法

• 在 H0 下使用超均匀 p 值定义 IC/OC 框架。
• 证明 ARL 下界：在没有依赖性假设下 ARL ≥ (1/(2α)) + 1/2。
• 在条件超均匀性下将 ARL 提升至 ARL ≥ 1/α。
• 建立 k-ARL 边界并讨论其尖锐性。
• 使用 r 和 λ 参数对 p 值求平均，构建 EWMA 式的 p 值图表。
• 提供基于闭测试的方法用于多变量 SPC 的方向与坐标定位。

Figure 1: Plots of PDFs of the random variables $\tilde{U}_{\lambda,t}$ with initialisation $u_{0}=1/2$ , for $\lambda\in\left\{0.3,0.5,0.7\right\}$ and $t\in\left\{2,3,4\right\}$ along with histograms of 10000 replicates of the corresponding variable.

实验结果

研究问题

• RQ1 在不严格假设依赖性的情况下，如何有效利用 p 值监控 SPC？
• RQ2 在 H0 下，p 值图的通用与条件 ARL 边界是什么？
• RQ3 如何直接从 p 值构建保有效性的 EWMA 式方案？
• RQ4 在误差控制的前提下，多变量 SPC 如何实现方向与坐标定位？

主要发现

• 在 super-uniform 下，P_t ≤ α 的 p 值图的 ARL 的下界为 (1/2α) + 1/2。
• 在条件超均匀性下，ARL 至少提升到 1/α。
• 对于 k 警报，k-ARL 边界在条件假设下至少为 (k/α)，且该界限是尖锐的。
• 通过 p 值平均并保持有效性，可以实现 EWMA 式的 p 值方案。
• 一个模块化的闭测试框架可在多变量 SPC 中实现 directional 与 coordinate 定位，同时控制 alarm 时的 FWER。
• 该框架实现了 p 值图的分布无关标定，并避免了任意设定的控制极限。

Figure 2: Plots of CDFs of the random variables $\tilde{U}_{\lambda,t}$ with initialisation $u_{0}=1/2$ , i.e., $F\left(\alpha\right)=\mathrm{P}_{0}\left(\tilde{U}_{\lambda,t}\leq\alpha\right)$ , for $\lambda\in\left\{0.3,0.5,0.7\right\}$ and $t\in\left\{2,3,4\right\}$ (solid line) along with the CD